周伟工程应用数学论文

高等工程应用数学课程论文姓名：学号：任课老师：戴华教授学院：材料科学与技术学院2014年12月工程数学在双辉等离子渗碳制备梯度Ti(C,N)基金属陶瓷形成机理中的应用摘要：高等工程应用数学作为一门基础性科学，已大量用于解决交通、建筑、航空航天、信息技术等项目问题，对推动相关学科的发展起到了巨大的作用。本文采用高等工程数学的方法分析了双辉等离子渗碳技术制备梯度Ti(C,N)基金属陶瓷的形成过程及机理，研究了渗碳处理过程中碳原子的扩散模型、反应过程以及其对梯度结构层的影响。关键词：Ti(C,N)基金属陶瓷，应用数学，双辉等离子；渗碳，扩散模型Theapplicationofengineering-appliedmathematicsinthepreparationofgradedstructureTi(C,N)-basedcermetspreparedbydoubleglowplasmacarburizingtechnologyABSTRACTAsabasicscience,modernengineering-appliedmathematicshavebeenwidelyusedtosolvetheproblemsintraffic,construction,aerospace,informationtechnologyandotherprojectsanditisplayinganimportantroletopromotethedevelopmentofrelateddisciplines.Inthispaper,themainprocessandrelatedmechanismofgradedstructureTi(C,N)-basedcermetspreparedbydoubleglowplasmacarburizingtechnologywereanalysedbymodernengineering-appliedmathematicsmethod,thediffusionmodelofcarbonatoms,actionprocessandtheinfluencesonthegradedstructureofcermetsduringcarburizationwerealsostudied.KEYWORDSTi(C,N)-basedcermets,appliedmathematics,doubleglowplasma,carburization,diffusionmodel0引言Ti(C,N)基金属陶瓷虽然具有较高的红硬性、优良的耐磨性、高的化学稳定性和与金属间极低的摩擦系数，受到了国内外的广泛关注[1-4]。但由于其自身强韧性的不足限制了其适用范围。要进一步提高金属陶瓷切削工具的性能并扩大其应用范围，研制成分和显微组织结构呈梯度分布，表面耐磨性大幅度提高，而材料韧性降低的很少[5,6]。解决上述矛盾的通常办法是用PVD和CVD的方法在金属陶瓷表面生成高硬的涂层。但是，这样所得材料的表面层与基体之间在成分和微观结构等方面都存在着明显的界面，且表面涂层很薄，在进行高速切削时表面硬化层容易剥落。且由于基材和涂层之间的的热膨胀系数不同，在加工和冷却过程中容易产生裂纹[7,8]。为此在材料真空烧结后，通过双辉等离子渗碳处理，根据碳与Ti、W和Ni之间亲和力的差异，在表层一定范围内形成硬质相富集区，而在内部形成粘结相富集区，从而可以有效解决强韧性矛盾的问题[9,10]。本文拟采用高等工程数学的方法分析双辉等离子渗碳技术制备Ti(C,N)基金属陶瓷的形成过程及机理，研究渗碳处理过程中碳原子的扩散模型、反应以及对梯度形成的影响。主要研究内容有：(1)制定双辉等离子渗碳的扩散模型；(2)研究梯度金属陶瓷结构与性能的关系；(3)研究渗碳过程中碳在金属陶瓷中的扩散和反应；(4)探讨渗碳过程中金属陶瓷梯度结构的形成机理。本文旨在通过对上述问题的数学研究，利用工业规模生产装备，开发出具有优良性能的梯度结构金属陶瓷及稳定的质量控制技术。1渗碳过程中的扩散模型在双辉等离子渗碳过程中，由于所渗碳元素与试样内各元素之间的亲和力不同，在一定渗碳温度和保温条件下，渗碳速度和扩散速度会达到某种平衡。此时在远离渗层表面较远的成分会保持不变，在整个双辉等离子渗碳过程中不会受到影响。由此可以列出：渗碳初始条件：t=0x≥0C=A(初始碳含量)渗碳边界条件：t0x=0C=Cb(最表层碳浓度)x=∞,C=A在双辉等离子渗碳过程中，渗层表面的碳浓度会达到最高值，根据菲克第二定律：22,,xtxCDttxCk（1）在此时设变量Dtxg2，则有：dgdCtgtgdgdCtC2（2）DtdgCdDtgCxggCxC4141222222222（3）将式（2）和式（3）代入到式（1）中，得：22412dgCdDtDdgdCtg（4）简化得到：0222dgdCgdgCd（5）上式求解得：21expgBdgdC（6）对上式积分，简化得到：2021expBdggBCg（7）式中，B1和B2是常数。根据误差函数定义：dgggerfg02exp2（8）由误差函数的定义和性质也可得：2exp02dgg2exp02dgg(9)把上式带入到式（7）中，并结合双辉等离子渗碳的边界条件可解出：ACBb1ACBb2（10）由此可知，碳质量浓度随距渗碳表面距离x和渗碳时间t变化的方程式为：DtxerfACtxCb21,（11）对上式两边求导，得到：DtxDtACtxCb4exp1,2（12）对上式取对数，得到：DtxBtxC4ln,ln2（13）式中DtACBb由上式可知，在最佳双辉等离子渗碳工艺和扩散系数D为常数下，txC,ln与x2之间为直线关系，斜率为Dt41，由此可计算扩散系数D的值。为此双辉等离子渗碳最佳工艺来计算，双辉等离子渗碳后离表面不同距离的碳元素质量分数见表1。通过origin软件对数据进行指数拟合，拟合前后的曲线对比如图1所示。由图1可知，拟合结果与实验结果是比较符合的。由图中拟合的结果可知拟合方程为：60238.1153434.940883.4xeC（14）将拟合曲线对x求导，可得：60238.1160238.1153434.9xedxdC（15）根据上式计算txC,ln与x2之间的关系，结果见表2.表1距渗碳表面不同距离的碳元素分布Table1Distributionofcarbonelementswithdifferencedistancefromcarburizingsurface距表面距离（µm）碳含量（wt.%）距表面距离（µm）碳含量（wt.%）3.2510.8571419.536.23155.2110.4285720.835.571437.829.1428625.395.142869.118.5714332.554.2857111.077.4285742.964.1428613.676.5714361.194.1428115.626.2857181.374.14286图1试验结果与指数拟合结果间的关系Fig.1Relationshipbetweenexperimentalandexponentialsimulationdata表2txC,ln与x2之间的关系Table2RelationoftxC,lnandx2x2txC,lnx2txC,ln10.5625-0.47643381.4209-1.8795927.1441-0.64536433.8889-1.991630204060804567891011Equation:y=A1*exp(-x/t1)+y0Chi^2/DoF=0.0851R^2=0.98676y04.00483±0.17562A19.53434±0.40415t111.60238±0.94809ExperimentalExpsimulationCarbonconcentration/wt.%Distancefromsurface/m61.1524-0.87031644.6521-2.3846582.9921-0.981491059.503-3.00177122.5449-1.150421845.562-3.89900186.8689-1.374523744.216-5.47023243.9844-1.542596621.077-7.20953通过origin软件对表2的数据画图如图2所示。由图2可知，离表面距离稍远的点都几乎落在一条直线上。这说明在双辉等离子渗碳过程中，碳含量的明显变化只发生在离表面20µm左右，远离表面的碳含量变化很小。通过对远离表面的数据点进行线性拟合，可知直线的斜率为-0.00073，由此可知Dt4100073.0，t=10800s，由此可知扩散系数为：D=3.171×10-2µm2·s-1。图2txC,ln与x2之间的关系Fig.2RelationshipbetweentxC,lnandx2将数据D带入到公式（11）中，可知碳元素在离表面不同距离的质量分数分布：xerfACtxCb027.01,（16）在式中Cb的值可假设在基体表面渗入表面形成一层薄薄的碳化钛层，那么Cb的值为20.05678wt.%，A值为离表面距离较远碳的质量分数，在双辉等离子最佳工艺下的值大约为4wt.%左右，为此上式可简化为：xerftxC027.0116,（17）通过试（17）计算的结果和实验结果进行对比于图3。由图可知，通过此模型计算得到的碳浓度分布曲线与实验结果符合的还比较好，偏离的值也不大。图3t=180min时模型计算结果和实验结果件的关系Fig.3Relationshipbetweenmodelcalculatedandexperimentaldataatt=180min2渗碳过程中的扩散与反应在对Ti(C,N)基金属陶瓷进行双辉等离子渗碳过程中，溶质杂质扩散和溶剂自扩散间的激活能差为：SSSSSSSSSCEHCEEHHQ20202（18）式中，SH2为空位-溶质原子交换焓；SH0为空位-溶剂原子交换焓；SE2为溶质原子旁的空位焓；SE0为溶剂原子旁的空位焓；SC为：TfRCSS1ln2（19）式中，Sf2为溶质相关因素的温度变化。而1611exp16/112022qaaaeVZEHSS（20）式中，2Z为有效相对价态；0V为溶剂价态；e为电子电量；a为筛选潜在因素；q为筛选指数。在双辉等离子渗碳处理过程中，由于上式的值远大于SC，那么SQ可简化为：02040608003691215Experimental_____CalculatedCarbonconcentration/wt.%Distancefromsurface/m1611exp16/11202qaaaeVZQS（21）双辉等离子渗碳的扩散过程中，扩散系数遵循Arrhenius方程，也即：RTQDDSself00exp（22）而上式中自扩散激活能SQ0为：0016KRTQmS（23）式中，R为气体常数；mT为金属陶瓷的熔点；0K为溶质原子的价态。从上式可知，溶质原子的自扩散激活能与原子的价态和金属陶瓷的熔点有着密切的关系。而在液态自扩散时，所需的激活能远小于固态时的自扩散激活能，此时，液态自扩散激活能为：01617.0KRTQmLO（24）将式（8-24）代入到（8-22）中，可知液态自扩散激活能为：RTQDDDLOsel