Laplace 变换的性质

1第二节Laplace变换一、Laplace变换的性质的性质二、小结2基本要求①掌握拉普拉斯变换的性质重点与难点①熟练运用性质求函数的拉普拉斯变换②理解卷积的概念③掌握并能运用卷积定理②卷积的计算3一、性质1、线性性质11()(),LftFs22()(),LftFs则121212()()()()()()LftftLftLftFsFs1111212()()()()LFsFsLFsLFs12()()ftft线性组合的拉氏变换等于拉氏变换的线性组合4解1(1)[sin2cos3][(sin5sin)]2LttLtt11[sin5][sin]22LtLt22151122521ss例1计算(1)(2)[sin2cos3];Ltt2[2sin2].Lt222210(1)(25)sssRe()0s52(2)[2sin2]Lt[1cos4]Lt[1][cos4]LLt2116sss216(16)ssRe()0s62、微分性质()[()],FsLft[()]()(0)LftsFsf则()12(1)[()]()(0)(0)(0)nnnnnLftsFssfsff特别地：当时，(1)(0)(0)(0)0nfff设一般地，()()()nnLftsFs注：()(),FsLtft()()()()nnFsLtft象函数微分性质Re()scRe()sc7例2利用拉氏变换的微分性质，求()cosftkt的拉氏变换(k为实数).解()sinftkkt2()cosftkkt22()coscosLftLkktkLkt22()()(0)(0)cosLftsFssffsLkts22cossLktskRe()0s22coscoskLktsLkts8的拉氏变换.解()()!mftm(1)(0)(0)(0)0mfff()!()()!!1mmmmmLftsFssLtLmmLs例3利用拉氏变换的微分性质，求()()mfttmZ1!mmmLtsRe()0s推论1(1)mmmLtsRe()0s9例4求()sinfttkt的拉氏变换(k为实数).22sinkLktsk22sinkLtktsk2222()kssk解22222cos()skLtktsk同理Re()0s2222()ksskRe()0s10例5求函数2()2sin2fttt的拉氏变换.解22[cos](Re()0)sLktssk2[2sin2][1cos4]LtLt[1][cos4]LLt2116sss221[2sin2]16dsLttdsss2222116(Re()0)(16)ssss11例6求函数2()ktftte的拉氏变换.解1[](Re())ktLesksk2[]ktLte222(1)()ktdLeds2221(1)ddssk32(Re())()sksk12例7求函数2()()fttut的拉氏变换.解22()()()LtutLtut()Lut1s32s133、积分性质()[()],FsLft0()()()tLftFsLftdtss则设推论：象函数积分性质注：()()sftLFsdst000[tttLdtdt()()]nFsftdtsn次()nftLtsssdtdt()Fsdsn次14例8求.0sintLktdt2201sinsin()tkLktdtLktsssk解4、位移性质()[()],FsLft()()atLeftFsa则设Re()sac1(1)()()atmmmLetFsasa例9求(1)atmLetm.解1522sin()()atkLektFsasak例10求sinatLekt.解例11求.30sin2ttLetdt3301sin2sin2tttLetdtLets解212(3)4ss165、延迟性质则对任意有0,()()sLfteFs()[()],FsLft当时，设()0.ft0t或1()()sLeFsft延迟的体现：从开始有非零数值，而()ft0t()ft从开始才有非零数值，延迟了时间t.17()()sseLuteFss例12求0,()1,tutt的拉氏变换.解5、卷积定理定义积分称为与的卷积，120()()tfftd1()ft2()ft记为，即12()()ftft12120()()()()tftftfftd(，)0t12()()0ftft18例13求.tte0tttteed解0tteed0[]tteee(1)tttetee1tet19性质1221(1)()()()()ftftftft123123(2)()[()()][()()]()ftftftftftft1231213(3)()[()()]()()()()ftftftftftftft1212(4)()()()()ftftftft1212(5)()()()()atatateftftefteft(6)()()()fttft交换律结合律分配律20定理12(),()ftft满足拉氏变换存在定理的条件，则121212()()()()()()LftftLftLftFsFs111121212()()()()()()LFsFsLFsLFsftft例14若，求.221()(1)Fsss()ft2222111()(1)1Fsssss解12211()1ftLss1122111LLsssintt210sin()ttd0cos()tdt0cos()tttd00cos()cos()ttttd0sin()tttsintt11sincos(,)mnttttttmnZ求卷积22011tdt0()ttttd011sinsin(2)(2)24ttttdt0sincossincos()ttttd01[sinsin(2)]2tttd1sin2tt23300236tttt23112!!!!mnmnmnmnmnmnLttLtLtsss12!!mnmnmnttLs12!!(1)!(1)!mnmnmnLmns1!!(1)!mnmntmn24例15若，求.12(),()()tfteftut12()()Lftft11()tFsLes解21()()FsLuts12121()()()()()LftftFsFsss25二、小结1.拉普拉斯变换的性质2.卷积的概念、性质及卷积定理