对正项级数敛散性判别法应用性的探讨

学号20090501050423密级______________兰州城市学院本科毕业论文对正项级数敛散性判别法应用性的探讨学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：马文娅指导教师：张艳红二○一三年四月城市学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名：日期：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨马文娅摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数1nnu)0(nu的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的nu适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词:正项级数;判别法;敛散性PositiveSeriesConvergenceCriterionofapplicabilityWemyaMaAbstract:Seriesisaseriesofpositivecontentisanimportantseries,convergenceandDivergenceofitsbasicnatureofits.ThispaperdiscussesthepositiveseriesallConvergenceCriterion,ThereareIntegralTest,ComparisonTests,CauchyCriterion,CriterionbigLambert,RabeCriterion.Discussedtheircertificationprocessandapplicationofrelevantexamplesofitssolution.Andbrieflydescribestherelationshipsbetweenthem,suchascomparisonofthestrengthof、suitablefordifferentformsofnuwhichmethodtoproveitsconvergenceanddivergenceeasier.Finally,IntroducedthepositiveseriesConvergenceCriterionofConvergenceandDivergenceintheidentificationoftherole.Keywords:positiveseries;criterion;convergence目录摘要....................................................................IAbstract:..............................................................II1引言..................................................错误!未定义书签。2正项级数相关概念.....................................................52.1定义.............................................................52.2正项级数敛散性判别的充要条件.....................................52.3三个重要比较级数.................................................62.3.1几何级数....................................................62.3.2调和级数....................................................62.3.3P-级数......................................................73正项级数敛散性判别法..................................................73.1判别发散的简单方法...............................................73.2比较判别法.......................................................73.2.1定理及其推论................................................73.2.2活用比较判别法..............................................93.2.3归纳总结..................................................103.3柯西判别法与达朗贝尔判别法.....................................113.3.1柯西判别法................................................113.3.2达朗贝尔判别法............................................113.3.3比值判别法和根值判别法失效的情况..........................133.4拉贝判别法.....................................................143.5积分判别法.....................................................153.6两种新方法.....................................................163.7判别正项级数敛散性方法的总结...................................184在判别级数敛散性中的作用............................................184.1证明负项级数的敛散性...........................................184.2证明变号级数绝对收敛...........................................194.3证明函数级数收敛...............................................195结束语..............................................................20致谢....................................................错误!未定义书签。参考文献:..............................................................22引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1定义设有数列nu,即.,,,,321nuuuu将此数列的项依次用加号连接起来,即nuuuu321或1nnu，称为数值级数,其中nu称为级数的第n项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项nu的符号都是正,则称级数1nnu是正项级数.取级数前n项的和为ns,即nnuuus21或nknnus1,称为级数的n项部分和.若一级数的部分和数列ns收敛,设ssnnlim或sunkkn1lim,则称此级数收敛,s是级数的和,表为nnnuuuuus3211.若部分和数列ns发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1正项级数1nnu收敛它的部分和数列ns有上界.证明由于),2,1(0iui,所以ns是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究ssnnlim,而粗略地估计ns的值当n时是否保持有界就可以了,这样就避开了ns冠以n的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3三个重要比较级数在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1几何级数(等比级数)讨论几何级数1211nnnarararaar的敛散性,其中ra,0是公比.解：1）当0r时,已知几何级数的n项部分和12nnarararas（i）当1r时,存在极限,且.11limlimrararasnnnn因此,当1r时,几何级数收敛,其和是ra1,即raarnn111.（ii）当1r时,不存在极限,且.1limlimrarasnnnn因此,当1r时,几何级数发散.2）当1r时,有两种情况:(ⅰ)当1r时,几何级数是)0(a,aaaa.naaaasnn个nasnnnlimlim即部分和数列ns发散.（ⅱ）当1r时,几何级数是.)1(1aaaaan,,0,,是偶数是奇数nnans即部分和数列ns发散.于是,当1r时,几何级数发散.综上所述,几何级数11nnar,当1r时收敛,其和是ra1,当1r时发散2.3.2调和级数证明调和级数nnn13121111是发散的.证明设调和级数11nn的n项部分和是ns,即.131211nsn由于已知.1]ln)1211[(lim.)ln1211(limnncnnnn或（欧拉常数）即当n时,调和级数的部分和nsn131211与nln是等价无穷大,即调和级数11nn发散.2.3.3P-级数讨论p-级数pppnpnn13121111的敛散性,其中p是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当1p时,广义调和级数就是调和级数11nn,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1p时,Nn,有nnp11.已知调和级数11nn发散,根据比较判别法可知,当1p时,p-级数发散.3）当1p时,2n,有]1)1(1[11111