5-非线性方程组的数值解法及最优化方法

若对任意都有一个实数与之对应，且满足：（1）非负性：当时，；当时，；（2）齐次性：对任何，；（3）三角不等式：对任意，都有（4）相容性：对任意，都有，则称为上矩阵的范数，简称矩阵范数。非线性方程组的数值解法nmCAAOA0AOA0ACAAnnCBA,BAAB;BABAnnCBA,AnmCAmiijnja111maxAnjijmia11maxA非线性方程组的数值解法考虑如下方程组式中均为的多元函数，向量形式为其中0,,,0,,,0,,,21212211nnnnxxxfxxxfxxxfnfff,,,21nxxx,,,210xF00,,110RxxxxFnnnxxff非线性方程组的数值解法当，并且中至少有一个是自变量的非线性实函数时，称方程组为非线性方程组。其求根问题就是确定方程组在指定范围内的一组解，可以通过对单个非线性方程求根问题的直接推广得到非线性方程组的求解算法。2nnifi,,2,1,nixi,,2,1,0xF非线性方程组的数值解法常用解法分为两类：一类是线性化方法，将非线性方程组用一个线性方程组来近似，由此构造一种迭代公式，逐次逼近所求的解；另一类是属于求函数极小值的方法，即由非线性函数构造一个模函数，例如构造函数然后通过各种下降法或优化算法求出模函数的极小值点，此极小值点即为非线性方程组的一组解。nfff,,,21nininxxxfxxx122121,,,,,,非线性方程组的数值解法不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改写为如下等价方程组构造迭代公式选取初始向量则由迭代公式可以得到一个向量序列。如果方程组有唯一解向量，并且，则可作为逐次逼近的近似解。nixxxxnii,,2,1,,,,21nixxxxknkkiki,,2,1,,,,211002010,,,nxxxx,,,321xxx*x0lim*xxkkkx*x非线性方程组的数值解法如果把迭代公式写为向量形式并记矩阵为则可以证明当时，迭代公式是收敛的。kkxφx1xφnnnnnnxxxxxxxxx212221212111xφ1Lxφ非线性方程组的数值解法例题1：用迭代法解如下非线性方程组取初值。解：构造迭代公式081411.042121211xxxexxxTx0,002111221181411.01411kkkxkkxxxexxk非线性方程组的数值解法式中所以有取初值，在附近，所以迭代公式收敛。Txxxφ21,,1.0141121xexx21128141xxx016141414011221221111xexxxxxxφTx0,00Tx0,001xφ非线性方程组的数值解法x10=0;x20=0;k=0;while1k=k+1;x1k=(1+x20-0.1*exp(x10))/4;x2k=(x10-x10^2/8)/4;%雅克比迭代法%x2k=(x1k-x1k^2/8)/4;%高斯-赛德尔迭代法err1=abs(x1k-x10);err2=abs(x2k-x20);err=max(err1,err2);iferr=0.00000000005break;endx10=x1k;x20=x2k;end非线性方程组的数值解法k221,xxk121maxkikiixx0(0,0)1(0.2250,0)0.22502(0.2186919321,0.0546679688)0.05466796883(0.2325557961,0.0531784155)0.01386386404(0.2317490826,0.0556448880)0.00327046485(0.2325921368,0.0562589070)0.00084305416(0.2325180591,0.0564574373)0.00019853037(0.2325700285,0.0564399945)0.00005196948(0.2325640284,0.0564522316)0.00001223709(0.2325672770,0.0564508188)0.000003248510(0.2325668213,0.0564515837)0.0000007649………18(0.2325670051,0.0564515197)19(0.2325670051,0.0564515197)非线性方程组的数值解法上述迭代公式与求解线性方程组的雅克比迭代公式形式相同，可以对其进行改进，构造求解非线性方程组的高斯-赛德尔迭代公式，即对上例采用高斯-赛德尔迭代公式计算迭代计算过程如下表所示nixxxxxknkikikiki,,2,1,,,,,,11111211111221181411.01411kkkxkkxxxexxk非线性方程组的数值解法k221,xxk121maxkikiixx0(0,0)1(0.2250000000,0.0546679688)0.22502(0.2323589243,0.0564025226)0.00735892433(0.2325613192,0.0564501808)0.00020239504(0.2325668498,0.0564514831)0.00000553055(0.2325670008,0.0564515487)0.00000015116(0.2325670050,0.0564515196)0.00000000417(0.2325670051,0.0564515197)0.00000000018(0.2325670051,0.0564515197)非线性方程组的数值解法牛顿迭代法：根据求解非线性方程的牛顿迭代法，如果已经给出方程组的一个近似根，则可把函数的分量在处按多元函数泰勒公式展开，取其线性部分做近似，得则得到线性方程组0xFTxknkkkxxx,,,21xFnifi,,2,1,xkxkkkxxxFxFxF0xxxFxFkkk非线性方程组的数值解法方程组的解为上式即为求解非线性方程组的牛顿迭代公式。式中称为的雅克比矩阵。kkkkxFxFxx11nnnnxfxfxfxfxxxxxF1111xF非线性方程组的数值解法例题2：用牛顿迭代法求解下面非线性方程组计算时取初始值。解：先求雅克比矩阵052032222121xxxxTx0.1,5.10212421xxxF,5232222121xxxxxF非线性方程组的数值解法由牛顿迭代公式得到迭代计算过程如下表所示。142282112121xxxxxF5232142282122212112121kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx非线性方程组的数值解法X0=[1.5;1];k=0;while1k=k+1;F=[X0(1,1)+2*X0(2,1)-3;2*X0(1,1)^2+X0(2,1)^2-5];Fd=[12;4*X0(1,1)2*X0(2,1)];Xk=X0-inv(Fd)*F;err=max(abs(Xk-X0));iferr=0.00005break;endX0=Xk;end非线性方程组的数值解法k221,xxk121maxkikiixx0(1.5,1.0)1(1.50,0.75)0.252(1.488095,0.755952)0.0119053(1.488034,0.755983)0.0000614(1.488034,0.755983)10-9练习题：用牛顿迭代法求解方程组取结果：非线性方程组的数值解法1422212221xxxxTX2.1,6.102247.1,5811.1非线性方程组的数值解法应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间，来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在水中和沉积层中的传播时间之和。三维坐标关系如图所示：非线性方程组的数值解法SourceReceiverReflectionOxy21HhZIS1H2H12水层沉积层'R非线性方程组的数值解法由声线传播的几何关系和折射定律，一个接收点可以导出如下6个方程：2221112121211112/122221112222/1221111211122222222222222211121212121222121222111222111cos1cos111sintansintan1tansintansin11tansin)tansin()1()1()tansin()1()1(sinsinsincoscoscoskkkkhkZkhkkHkhhkkknZhkkknHkrkkrk非线性方程组的数值解法方程中为声线的位置参数，为海底倾角为声源到沉积层的距离，为声源处的沉积层厚度，为声线水平偏转角，为声源和水听器的水平距离，为水听器到沉积层的距离。假设声线位置参数未知，其它参数都是已知的，根据方程求解参数。212121,,,,,kkHhrZ212121,,,,,kk智能计算及其在数值计算中的应用匹配场处理（MFP：MatchedFieldProcessing）：利用海洋环境参数和声传播信道特性，通过水下声场模型计算得到接收基阵的声场幅度和相位，形成拷贝场向量，并与基阵接收数据进行“匹配”，从而实现水下目标的被动定位和海洋环境参数的精确估计。声源、海洋信道和水听器阵是三个基本要素，三者构成不可分割的统一整体，已知其中两者，就可以推断第三者。已知水听器阵接收信号和海洋信道信息，待求解的是包括声源位置在内的声源信息，就是匹配场被动定位；如果已知水听器阵接收信号和声源信息，待求解的是海洋信道信息，就是匹配场反演（MFI：MatchedFieldInversion）。智能计算及其在数值计算中的应用匹配场反演包括4个重要环节：反演目标函数、声场传播模型、全局优化算法和反演结果的不确定性分析。目标函数是反映拷贝物理量与观测物理量之间匹配关系的函数。目标函数的确定包括：匹配物理量的选取及目标函数的建立，海洋环境参数模型的建立，反演参数的