层次分析法

层次分析法AnalyticalHierarchyProcess（AHP）T.L.Saaty层次分析法建模一问题的提出日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（AnalyticalHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔二层次分析法的基本步骤用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：(1)建立层次结构模型；(2)构造判断矩阵；(3)层次单排序；(4)层次总排序；(5)一致性检验。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。1.建立层次结构模型首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。对于决策问题，通常可以将其划分成层次结构模型。最高层：表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标。中间层：它表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等。最低层：表示解决问题的措施或政策(即方案)。AHP决策分析法层次结构示意图买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型准则层方案层目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2层次结构模型准则层A方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。总目标P19O1O2O3战略目标CCCCCCCCCC12347891056发展战略SSSSSSSS12345678制约因素PPPPPPPPPPPPPPPPPP123456789101112131415161718方针措施图8.2.3晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策模型层次结构图设某层有个因素，nnxxxX,,,21jiijaa1nnnnnnnnijaaaaaaaaaaA2122221112112构造成对比较矩阵（判断矩阵）n要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）ijaij用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则A则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。１３５７９尺度第个因素与第个因素的影响相同ij第个因素比第个因素的影响稍强第个因素比第个因素的影响强第个因素比第个因素的影响明显强第个因素比第个因素的影响绝对地强iiiijjjj含义比较尺度：（1~9尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。倒数：若j因素和i因素比较，得到的判断值为。jijiijaa1由上述定义知，成对比较矩阵nnijaA0)1(ijajiijaa1)2(则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：满足一下性质ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/53111)3(iia54321,,,,AAAAA分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。由上表，可得成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？3层次单排序及一致性检验n层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如一块石头重量记为1，打碎分成n各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵：11121212121由右面矩阵可以看出：jkkiji即，nji,,2,1,ijkjikaaa1321231321234,2,7aaaaaa但在例2的成对比较矩阵中，AijkjikaaaA在正互反矩阵中，若,则称为一致阵。若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且nn11niiwiwi表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则Anw这样确定权向量的方法称为特征根法。1maxnnCI定义一致性指标其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。AnA由于连续的依赖于，则比大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量nmaxmaxijanAA的不一致程度。maxRI50021,,,AAA50021,,,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标定义平均随机一致性指标随机构造500个成对比较矩阵平均随机一致性指标RI的数值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511.0RICICRAA一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。时，认为4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。从最高层到最低层逐层进行。设：Z1A2AmA1B2BnB,,,,21mAAAmA个因素层对总目标Z的排序为maaa,,,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为),,2,1(,,,21mjbbbnjjjnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:::即层第个因素对总目标的权值为：Bimjijjba1B层的层次总排序为：B层的层次总排序mAAA,,,21maaa,,,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,,,21A),,2,1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221122111.0CR当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用1~9尺度构造成对比较矩阵。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、平均随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验1.0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率作业：上机实验用Excel分析完成层次分析法的一个应用。Z1A2A3A4A5A1B2B3B旅游问题层次结构模型54321,,,,AAAAA321,,BBB分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。用层次分析法选一个适合自己情况的旅游点。Excel函数PRODUCT(B11:F11)：参数的乘积；POWER(G11，1/5)：某数的乘幂；SUM(H$11:H$15)：数值的求和；MMULT(B11:F11，I$11:I$15)：两数组矩阵的乘积。四、对AHP方法的简单评价优点：思路简单明了，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚。缺点：存在着较大的随意性。譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让不同的人同样都采用AHP决策分析方法进行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。注意：在实际运用中，特别是在多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的战略决策问题的研究中，对于问题所涉及的各种要素及其层次结构模型的建立，往往需要多部门、多领域的专家共同会商、集体决定；在构造判断矩阵时，对于各个因素之间的重要程度的判断，也应该综合各个专家的不同意见，譬如，取各个专家的判断值的平均数、众数或中位数。五、正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。定理对于正矩阵A（A的所有元素为正）（1）A的最大特征根为正单根；（2）对应正特征向量w（w的所有分量为正）；（3）weAeeAkTkklim其中T,,,)(111ew是对应的归一化特征向量。1幂法步骤如下a)任取n维归一化初始向量)(0wb)计算,,,,~)()(2101kkkAww)(~1kwc)归一化，即令nikikkw1111)()()(~/~wwd)对于预先给定的精度，当下式成立时n,,iwwkiki,,21)()1()(1kw即为所求的特征向量；否则返回b；e)计算最大特征值nikikiwwn1)()1(max~1这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的(3）保证。2和积法步骤如下a)将A的每一列向量归一化得b)对c)归一化niijijijaaw1/~ijw~按行求和得njijiww1~~Tn)~,,~,