层次分析法1(AHP)

层次分析法(AHP)主要内容•一、概述•二、基本思路•三、步骤•四、应用举例•五、几个问题•六、建模中的应用一、层次分析法概述层次分析法美国运筹学家Saaty于二十世纪70年代提出一种实用的多方案或多目标的决策方法。它合理地将定性与定量的决策结合起来按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。一、层次分析法概述•解决的基本问题：•决策问题----在多种方案中依据一定的标准选择某一种方案。•应用领域：•层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重数。-------能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、决策•具体问题举例：高校排名二、基本思路•先分解后综合的系统思想：•首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。二、基本思路分解建立实际问题层次结构多个因素确定计算判断各种因素的相对重要性权向量综合决策三、基本步骤1、建立系统的递阶层次结构（分析系统中各个因素的关系）2、构造两两比较判断矩阵（正互反矩阵）（对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较）3、层次单排序及一致性检验（根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并做一致性检验)4、层次总排序及一致性检验（计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序、检验)三、基本步骤•例.选择旅游目的地•在桂林、黄山、北戴河3个旅游目的地中，如何按照景色、费用、居住条件等因素选择。三、基本步骤•1“选择旅游地”的步骤•将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。•通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。•将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。三、基本步骤•1构造层次模型目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途三、基本步骤•2产生成对比较阵元素之间两两对比，对比采用相对尺度•设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiijnnijaaaaA1,0,)(ijjiaCC:三、基本步骤•2产生成对比较阵1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(ijjiaCC:A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——基本分析OC1C2C3C4C5C111/2433C221755C31/41/711/21/3C41/31/5211C51/31/5311三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——基本分析):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较71242/11A不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——理论基础nnnnnn212221212111考察完全一致的情况n,,)1(21jiijwwa/令权向量~),,(21Tn三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——理论基础成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•A的任一列向量是对应于n的特征向量•A的归一化特征向量可作为权向量一致阵性质三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——理论基础wAw因为对于一致阵A，它的唯一非零特征根为n，对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，可以用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即wAw三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——理论基础对A确定不一致的允许范围可用下面方法约束已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵1nnCI定义一致性指标:CI越大，不一致越严重为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。三、基本步骤•3成对比较矩阵的一致性检验——实际应用RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下1nnCI四、应用举例-选择旅游地•准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标四、应用举例-选择旅游地•准则层对目标的权向量及一致性检验对刚才的问题，n=5，查表知随机一致性指标RI=1.12通过一致性检验一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1四、应用举例-选择旅游地组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn),,()2()2(1)2(同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3)四、应用举例-选择旅游地第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T