零件参数设计――1997建模A题

零件的参数设计摘要：本文通过研究成批生产粒子分离器某参数与7个零件参数的标定值和容差的关系，建立了一个有约束条件的非线性规划模型。首先，对参数y的经验公式进行线性化处理，确定了参数y近似服从正态分布，在此基础上,以7个零件参数的标定值和容差等级为决策变量,以生产产品的总费用为目标函数建立非线性规划模型,用matlab软件编程计算，对108种容差等级组合逐一进行求解，选取最优的参数标定值和容差等级组合，使得生产1000个产品的总费用最低，最后求得7个零件参数的标定值分别为0.0750，0.3750，0.1143，0.1200，1.2903，13.4292，0.5791，容差等级组合为B,B,B,C,C,B,B，总费用是42.2073万元，与原设计费相比，降低了265.4842万元。然后用蒙特卡洛随机数法对模型进行检验，模拟结果吻合很好。最后对模型进行了误差分析和灵敏度分析，对产品生产提出了合理化建议。关键词：非线性规划标定值容差蒙特卡洛随机数法一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,...,x7）决定，经验公式为：7616.1242356.02485.01235136.0162.2142.174xxxxxxxxxxxYy的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9,000元。零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为1%，Ｂ等为5%，Ｃ等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：标定值容许范围Ｃ等Ｂ等Ａ等x1[0.075,0.125]／25／x2[0.225,0.375]2050／x3[0.075,0.125]2050200x4[0.075,0.125]50100500x5[1.125,1.875]50／／x6[12,20]1025100x7[0.5625,0.935]／25100现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型的假设（1）各个零件的参数服从正态分布且相互独立；（2）各个零件参数的容差为均方差的３倍；（3）经验公式有较高的精度，即不考虑经验公式的误差；（4）当产品参数]6.1,4.1[y时，产品无质量损失；当产品参数]8.1,6.1()4.1,2.1[y时，产品为次品，质量损失为1000元；当产品参数),8.1()2.1,(y时，产品为废品，质量损失为9000元。三、符号说明ix第i个零件参数的实际值（1,2,,7i）；*ix第i个零件参数的标定值（1,2,,7i）；y粒子分离器的某参数值；0y粒子分离器参数y的目标值；i第i个零件标定值容许范围的下限（1,2,,7i）；i第i个零件标定值容许范围的上限（1,2,,7i）；nD1n表示容差等级为A时，最大偏移量与标定值的相对值，即11%D；2n表示容差等级为B时，最大偏移量与标定值的相对值，即25%D；3n表示容差等级为C时，最大偏移量与标定值的相对值，即310%D；Z1000个产品因参数y偏离0y造成的损失和零件成本的总费用；kZ7个零件参数的容差等级组合在第k种情况下生产1000个产品的总费用（1,2,,108k）；kz7个零件参数的容差等级组合在第k种情况下生产一件产品的平均费用（1,2,,108k）；kC7个零件参数的容差等级组合在第k种情况下每个产品的零件成本（1,2,,108k）；四、问题分析决定粒子分离器性能的某参数y由7个零件的参数决定，这些零件的参数包括标定值和容差两部分。在零件成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。零件的成本只由选择容差等级决定，容差设计得越小，成本越高。零件参数标定值的选择和容差等级的设计会影响到产品参数偏离目标值0y的大小，偏离的越大，损失越大。所以，为使生产1000个产品的总费用达到最小，应统筹规划，选取最优的零件参数标定值和容差。假设每个零件的参数都符合正态分布，那么通过对参数y进行线性化，可以认为参数y也符合正态分布。根据经验公式，参数y的分布可由7个零件的参数分布求得，从而可以求出平均每个产品质量损失的期望。现在把生产1000个产品的总费用设定为目标函数，则可通过求解生产每个产品的平均费用来确定总费用最小时的最优解。生产每个产品的平均费用由两部分组成：这个零件的成本和参数偏离目标值y0所造成质量损失的期望。根据题目中所给的条件，我们知道对于每个零件，不同的容差等级对应不同的零件成本，所以一共有1082313321种不同的容差等级组合，这108种容差等级组合对应了108种生产1000个产品的零件成本和产品质量损失的期望。可以先求出每种容差等级组合中7个零件标定值的最优解，再从108组最优解中选取总费用最低的解作为总体的最优解。五、模型的建立5.1确定参数y的统计特征首先，为了简化模型，我们需把题目中所给出的关于产品参数y的经验公式进行线性化（线性化的可行性见附录一），将该公式在*xx处进行泰勒展开，展开式如下：*77***211()()()(())iiiiiixxiiiYYxYxxxxxx,又因为：kic第i个零件在第k种容差等级组合中的成本（1,2,,108k，1,2,,7i）；kE7个零件参数的容差等级组合在第k种情况下平均每个产品质量损失的期望（1,2,,108k）；*77*2**11()()[()()]iiiiiixxiiiYxxYxYxxxx,所以可以略去佩亚诺余项，得：*7**1()()()iiiixxiiYYxYxxxx,又整理得：**77**11()()iiiiiixxxxiiiiYYYxxYxxxx,记上式为：701()iiiYxMxM,其中：*iiixxiYMx，*7**01()iiixxiiYMYxxx.而由2~(,)iiiXN，且iX间相互独立，又由Y为iX的线性组合，所以Y也服从正态分布，设2~(',')YN，则根据概率统计知识：*72221'();'.iiiYxM记Y的概率密度函数为()fY,则：22(')2'1()2'YfYe.这样就确定了参数y的统计特征。5.2构建目标函数本问题是一个有约束条件的非线性规划问题。我们已经知道有108种可能的7个零件参数容差等级组合的情况，如果求出这108种7个零件参数的容差等级组合所对应的108个总费用，比较这108个总费用的大小，取最小值，则对应的7个零件参数的标定值和容差组合即为题目所求。现讨论7个零件参数的容差等级组合在第k种情况下，生产1000个产品的总费用kZ。因为：1000kZ总费用（每个产品的成本+平均每个产品损失的期望）.记：kkkzCE，k=1,2,,108其中：kzk第种情况下平均每个产品的费用，k=1,2,,108kkC=第种情况下每个产品的成本，k=1,2,,108kkE=第种情况下平均每个产品损失的期望，k=1,2,,108优化的关键在于，要使这种情况下的总费用kZ取得最小，即使得平均每个产品的费用kz取得最小。由此，可建立以下模型：min;...kkkikiizCEstx第k种情况下，每件产品的零件成本为7个零件的成本之和，所以：71,1,2,,7kkiiCci其中kic为第k种情况下第i个零件的成本。若记第k种情况下，)','(~2kkNY，且Y的概率密度为)(Yfk，则：22(')2'1()2'kkYkkfYe，其中：*27221'(),'.kkkkiiikYxYx上式中ikYx为第k中情况下()Yx对ix的偏导。又上式中ki为第k中情况下，第i个零件参数的标准差。根据题意容差为均方差的3倍，所以：*13kiniDx其中，上式中的nD是指在第k种情况下，第i个零件选取容差等级为n时(1,2,3ABC)n分别对应容差等级，，，最大偏移量与标定值的相对值，题目中已给出：1231%,5%,10%DDD。那么，第k种情况下平均每个产品损失的期望kE为：0000000.30.10.30.30.10.3()1000()1000()9000()yyykkkkyyyfYdYfYdYfYdYfYdYkE=9000化简得：0000000.30.10.30.30.30.190001()1000()()yyykkkyyyfYdYfYdYfYdYkE.于是，我们就得到了,kkCE的表达式。综上所述，在综合考虑y偏离0y造成的损失和零件成本后，构建总费用Z的目标函数：12min{,,,},kZZZZk=1,2,,108此目标函数表明，我们求出这108种容差等级组合以及相应零件参数标定值所对应的产品费用kZ（k=1,2,,108）后，取kZ（k=1,2,,108）中的最小值为要求的总费用Z，那么这个Z所对应的零件参数标定值和容差等级组合即为所求的最优解。六、模型的求解对于原设计方案，由于其容差等级组合是确定的，我们可求得参数y的概率密度函数，从而求得原设计方案中每个零件损失的期望，进而可以算得每个产品的成本，求得如下结果（如表一）：表一总费用/万元正品率次品率废品率307.691512.63%62.33%25.04%因为原方案中，参数y的期望是1.7256，偏离1.5较大；而方差为0.012，较小。所以大部分产品对应的y集中在1.7256附近，这样次品率很大，所以总费用很大。这与模型求解的结果是相符的。从这些数据可以看出，原方案存在明显的缺陷。针对我们建立的模型，对于每一种容差等级组合，可以用matlab工具中求解非线性规划的方法解出一组解，因为有108种容差等级组合，所以就有108组解，再在这108组解中比较出总费用最小的解，即为最优解。在用matlab工具中fmincon命令的时候容易给出局部最优解，但这与初始值的选取有关。为了尽可能的给出全局最优解，可取不同的初始值解出不同的局部最优解，再取其中总费用最小的解为最优解。结果如下（如表二，表三）：表二总费用/万元正品率次品率废品率42.207382.6%17.4%0%表三标定值容差等级零件一0.0750B零件二0.3750B零件三0.1143B零件四0.1200C零件五1.2903C零件六13.4292B零件七0.5791B新的参数设计比原设计的费用降低了265.4842万元。七、模型的检验7.1用正态分布