零件参数设计的数学模型

零件参数设计的数学模型武英涛刘韶凤廖磊摘要:本模型的建立是利用概率的理论，假设个零件的参数服从正态分布，推出粒子分离器某参数偏差的分布函数，进而得一批产品总费用的目标函数，最后运用网格搜索法求出目标函数的全局最优解。问题重述一件产品由若干零件组装成，产品性能取决于零件的参数。零件参数包括标定值和容差。标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，容差常规定为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值(xi)和容差(G)。这时应考虑当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。y），y由7个零件参数确定（xi(I=1,2….7),经验公式为：y=174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1))^0.858*sqrt((1-2.628(1-0.36*(x4/x2)^-0.56)^3/2*(x4/x2)1.16/(x6*x7))产品的信息为：1.2y1.4或1.6y1.8:产品为次品：损失1000元；y1.8ory1.2:产品为废品：损失9000元。参数的标定植由容差决定：容差分为3个等级(G/xi)：A:%1,B:%5,C:%10,标定植变化范围及各容差对应的成本如下表：标定植取值范围C等B等A等X1[0.075,0.125]/25/X2[0.225,0.375]2050/X3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100x7[0.5625,0.935]/25100现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。要解决的问题是，设计零件参数（包括标定值和容差），使总费用最少。问题分析要求的问题是使总费用最低，而总费用包括各零件成本及次，废品损失费,综合考虑两种问题可归纳为总费用的非线形优化问题。由于待优化的目标函数复杂,无法利用其解析性求最优解,故可考虑用直接全局搜索法或随机试验点法.从生产实际考虑,本问题对解的精确度要求很高,但是对求解的实时性无明确要求,我们认为,只要求解时间不是太长,都是可以接受的.模型的假设及说明假设各零件参数服从，为的正态分布，且不同零件的参数相互独立。假设各零件容差的等级与其标定值，分别为：A级1%，B级5%，C级10%。由于批量生产数目N较大（实例中N=1000），造成一批产品质量的损失，则质量损失可近似看成为一连续的函数。i2i符号说明y:产品某参数xi:各零件参数y0:y的目标值（y0=1.5）:各零件参数的标定值:各零件标定值确定y:产品的参数的偏差的零件参数:各零件成本yi:各零件容量等级比xi:各零件参数的偏差:xi表定值向量(I=1,2…7)pi:各零件参数的均方差:的取值空间p1:次品概率:等级取值向量p2:废品概率:产品参数的均方差Tx)(TxTxTxyiiCxy模型的建立本模型的建立基于概率论与误差的有关理论。各零件的偏差xi相对于其标定植较小，根据题目给定的经验公司可得，y在附近可以表示为：y+由于xi较小，所以dxixi又由于y=y-所以y=xyxyiiidxxy*)/(71xyiiixxy*)/(71引理一：xi服从参数为，的正态分布，而且彼此相互独立，ai为不全为零的常数，若x=，则x~~(,)根据公式（3）对应一组xi为一定值，与xi无关，则有引理一知道y~N(0,)(=*)有概率论知识可得到ii71iix71*iiiua7122*iiiaixy/2y2y712)/(iixy)1,0(~)/(Nyyi由以上可知y由Xi的标定值和容差两方面决定，在此我们可估计y~N(,),为更确认一些我们选取1000多个随机点来作出y的直方图，来观察y的分布：xyi产品总费用=零件总成本+次品损失费+废品损失费即min即：W=+++S.t2*90001*100071ppCwii)(TTxx结合题意我们建立目标函数：71iiCdyexy4.12.12/)(222.12/)(22dyexy8.12/)(22dyexy222模型的求解（一）对原来设计数据的求解我们用matlab和maple软件下，代入数据=[0.1，0.3，0.1，0.1，1.5，16，0.75],G=[B,C,C,C,C,C,B]，可以得到结果（见程序1）.p1+p2=0.8745,表示大部分都是次废品，这是偏离y0过大的结果。由此可知：应该尽量先使靠近y0,同时降低均方差。这也是本模型降低算法复杂度的一个方向。（二）对目标函数minW的求解以及参数的重新设计Txxyxy目标函数是一想当复杂的问题，y和都是带有7个变量的函数，直接编程，难度较大；为此我们使用数学软件来求值和积分，可节省不少时间（这里我们用到了Matlab，Maple).在数学软件的基础上，我们采用分布直接搜索法，由于容差等级只有1^2*2^2*3^3=108种，相对零件参数的标定值的数量较少，可先固定一组容差，搜索使目标函数W最小的一组xi,再在此基础上变换容差，经过比较得出最优值。具体计算程序的流程图如下：1：固定一组容差（Yi)等级，用7个for循环列出可行域内的xi;2:利用软件现成求导函数，求出y在这一组xi下，对xi求偏导的值g(xi)。y3：偏导f(xi)与三分之一容差1/3*Yi对应相乘，再求和，得到4：带入目标函数，求出W.5:重复循环，不断比较W,待循环完，得出一优W和xi;6:在较优xi基础上，改变Yi,经过循环迭代得出最优值。当然，这样仍较复杂，我们可队程序作部分优化，如必要的判断语句提早提前，以减少循环次数和计算量。经过计算得出下列一组最优值：p1=16.52%,p2=0.01%=(0.075,0,375,0.125,0.113,1.1716,20,0.5725)=[B,B,B,C,C,B,B]W=42.12万元yTXTG模型的检验以及误差的分析（一）模型的检验由于我们没有一个确定的标准进行对本模型进行检验，只能采取不同的方法，我们采用了最小二乘模拟法，直接搜索法，然后对结果进行比较。在检验过程中，我们用随机取点法，得到产品的最低总费用都在42.1~42.2万之间，而且对应最低总费用的零件参数值较合理，这说明原模型的算法是可靠的。（二）.误差分析本文采用数学软件进行数值计算和求导，加之计算机精度较高，故计算方面误差较小，这里的误差主要为推导y的分布函数时的误差。