倾斜角与斜率

3.1.1倾斜角与斜率yxoP过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？容易看出，它们的倾斜程度不同.如何表示倾斜程度呢？l1l2l3当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。直线的倾斜角注意：(1)直线向上方向；(2)X轴的正方向。yxol下列四图中，表示直线的倾斜角的是()yxoAyxoByxoCyxoDAyox1.当直线与x轴平行或重合时，002.当直线与x轴垂直时，0903.倾斜角的取值范围是：000180直线的倾斜角的范围yxo零度角yxo锐角yxo直角yxo钝角按倾斜角去分类，直线可分几类？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。思考xyOlll只知道直线的倾斜角α，不能确定一条直线的位置。已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置，那已知直线的倾斜角α，能不能确定一条直线的位置？xyO确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。xyOlP日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？思考我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即前进量升高量坡度升高量前进量ABC“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）.2223升高量前进量ABCD前进量升高量坡度tanαk一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。通常用小写字母k表示，即如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．yxol直线的斜率直线斜率的范围xyOllll倾斜角α为锐角，斜率k0.倾斜角α为钝角，斜率k0.倾斜角α为0°，斜率k=0.倾斜角α为90°，无斜率。)90(αtanαk斜率的计算已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何计算直线P1P2的斜率k．思考设直线P1P2的倾斜角为α（α≠90°），当直线P1P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于点Q，于是点Q的坐标为（x2，y1）。),(111yxP),(222yxPxyo1x2x1y2y),(12yxQ当α为锐角时，.yy,xx,PQPα212121在直角中QPP2112121221xxyy|QP||QP|PQPtantanαtanθθ)tan(180tanα当α为钝角时，,180α在直角中,QPP211212211212||||tanxxyyxxyyQPQP0.xxyytanα1212xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ1x2x1y2yxyo),(21yxQ),(111yxP),(222yxPyox),(21yxQ),(111yxP),(222yxP21pp当的位置对调时，k值又如何呢？思考2121tanyyxx。同样，当的方向向上时，也有21pp当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？21pp成立，因为分子为0，分母不为0，K=0。xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk经过两点的直线的斜率公式为：)x)(xy,(xP),y,(xP21222111.tan1212xxyy直线的斜率公式思考(1)已知直线上两点、，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？)a,A(a21)b,B(b211122BA1122ABbabakababk与A、B两点的顺序无关。(2)当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk不成立，因为分母为0。例1,1tan,180α0000α135。因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°。求经过点A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的倾斜角和斜率。解：直线AB的斜率1,2)(503kAB在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线及．321,,lll4l例2Oxy1lA1解：取上某一点为的坐标是，根据斜率公式有:1l),(11yx1A,00111xy即.11yx设，则，于是的坐标是．过原点及的直线即为。11x11y1A)1,1()1,1(1A1l课堂小结1、直线的倾斜角定义及其范围：18002、直线的斜率定义：aktan3、斜率k与倾斜角之间的关系：α0tanαk180α90ktan90α0tanαk90α00tan0k0α不存在存在不4、斜率公式：)xxyyk(xxyyk21211212或)90(a题答案习1.解（1）k=tan30°=;（2）k=tan45°=1;（3）k=tan120°=-tan60°=-;（4）k=tan135°=-tan45°=-1.3332.（1），因为k0，所以直线CD的倾斜角是锐角。（2），因为k0，所以直线PQ的倾斜角是钝角。76kCD3kPQ3.（1）因为k=0，所以直线AB的倾斜角是0°;（2）因为过C,D两点的直线垂直x轴，所以直线CD的倾斜角是90°。（3）因为k=1，所以直线PQ的倾斜角是45°。