数列知识点总结及题型归纳 - 含答案

1数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。例：等差数列12nan，1nnaa题型二、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A．15B．30C．31D．642.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）6703.等差数列12,12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．752.设数列{}na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；题型五、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn2例：1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）352.设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于()A．13B．35C．49D．633.已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d等于()3132．．BAC.31D.324.在等差数列na中，1910aa，则5a的值为（）（A）5（B）6（C）8（D）105.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项6.已知等差数列na的前n项和为nS，若118521221aaaaS，则7.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS8.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=9.设等差数列na的前n项和为ns,若6312as,则na10．已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.，则bn=11．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn。12.等差数列na的前n项和记为nS，已知50302010aa，①求通项na；②若nS=242，求n13.在等差数列{}na中，（1）已知812148,168,SSad求和；（2）已知658810,5,aSaS求和；(3)已知3151740,aaS求3题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶naa中；②1SnSn奇偶。题型七.对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,,仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。3．已知等差数列na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝A．310B．13C．18D．19题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列②中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列③通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列④前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列例：1.已知数列}{na满足21nnaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na的通项为52nan，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和422nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{na的前n项和22nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列}{na满足0212nnnaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列7.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）①求数列na的通项公式；4题型九.数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。1.设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值2．等差数列na中，12910SSa，，则前项的和最大。3．已知数列na的通项9998nn（Nn），则数列na的前30项中最大项和最小项分别是4．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。5.已知}{na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列}{na从哪一项开始小于0？（2）求数列}{na前n项和的最大值，并求出对应n的值．6.已知}{na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列}{na前n项和的最大值．7.在等差数列}{na中，125a，179SS，求nS的最大值．5题型十.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．1.设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（）（A）15(B)16(C)49（D）642．已知数列na的前n项和，142nnSn则3.数列{}na的前n项和21nSn．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}na是等差数列吗？（3）你能写出数列{}na的通项公式吗？4.已知数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS①求证：数列na是等差数列②求数列na的通项公式等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naqq。一、递推关系与通项公式111qnnmnnnnmaaaaqaaq递推关系：通项公式：推广：1.等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）（A）2（B）3（C）4（D）82.在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A33B72C84D1893.在等比数列na中,2,41qa，则na4.在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a5.在等比数列na中，22a，545a，则8a=6二、等比中项：若三个数cba,,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.1.23和23的等比中项为()()1A()1B()1C()2D2.设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=（）A．2744nnB．2533nnC．2324nnD．2nn三、等比数列的基本性质，1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),,,(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列.1．在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa()5()2A2()2B1()2C1()2D2.等比数列{}na的各项为正数，且5647313231018,logloglogaaaaaaa则（）A．12B．10C．8D．2+3log53.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa（）A.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n4.在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=5.在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，，①求na②若nnnTaaaT求,lglglg217四、等比数列的前n项和，)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例：1．设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（）A．2(81)7nB．12(81)7nC．32(81)7nD．42(81)7n2.已知等比数列}{na的首相51a，公比2q，则其前n项和nS3.已知等比数列}{na的首相51a，公比21q，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和nS4．设等比数列}{na的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为.5.设等比数列}{na的前n项和为nS，已,62a30631aa，求na和nS6．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；五.等比数列的前n项和的性质若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列.1设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则69SS=()A.2B.73C.83D.3