2018-2019学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研(三)数学(理科)试题 解析版

1绝密★启用前江苏省南通市如皋2018-2019学年高二上学期教学质量调研（三)数学（理科)试题评卷人得分一、填空题1．已知，若为实数，则__________．【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简，利用复数的相关概念即可求解.【详解】因为，又知为实数，所以，即.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于中档题.2．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数的值为__________．【答案】16【解析】【分析】根据椭圆的焦点在y轴可知，，求出，由离心率即可解出m.【详解】因为椭圆的焦点在y轴可知，，所以，由可知.2【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的简单几何性质，属于中档题.3．若复数满足（是虚数单位），是的共轭复数，则为__________．【答案】2【解析】由题意得，复数满足，所以，所以。4．在直角坐标系中，双曲线的右准线为，则以为准线的抛物线的标准方程是__________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的方程，可写出右准线方程为，又知为抛物线准线，故，即可写出抛物线的标准方程.【详解】由双曲线可得，故,,所以右准线方程为，又知为抛物线准线，所以，故所求抛物线方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，抛物线的方程，及其简单几何性质，属于中档题.35．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为__________．【答案】4【解析】【分析】根据椭圆的定义可知,因此的周长为.【详解】由椭圆知即，因为直线过作直线交椭圆于，所以，因此的周长为.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的定义，属于中档题.6．下列关于直线和平面的四个命题中：（1）若，，则；（2）若，，，则；（3）若，，，则；（4）若，，则.所有正确命题的序号为__________．【答案】⑵⑶【解析】【分析】逐项分析即可.【详解】选项（1）若，，可能，所以推不出，故错误；选项（2）若，，，可推出，故正确；选项（3）若，，，满足直线与平面平行的判定定理，则，故正确；选项（4）若，，可能，也可能，推不出，故错误.综上可知正确的为⑵⑶.4【点睛】本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面平行，面面垂直，属于中档题.7．一个圆锥的侧面积等于底面积的2倍，若圆锥底面半径为，则圆锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】根据圆锥侧面积，圆锥底面积可得，可求出圆锥高，利用体积公式计算即可.【详解】因为圆锥的侧面积等于底面积的2倍，所以，即，又，，所以.【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，圆锥的体积，属于中档题.8．若，则__________．【答案】120【解析】【分析】由题意，是含有项的系数，故利用二项展开式求展开式中含的项的系数即可.【详解】的通项公式为，令，解得，，令，解得，，所以展开式中含项为，故.5【点睛】本题主要考查了二项展开式，二项展开式的通项，属于中档题.9．叙利亚内战接近尾声，中国红十字会相应国际号召，支持叙利亚人民战后重建，为解决现阶段叙利亚人民急需的医疗保障，现拟从北京某知名医院的专职教授的医生6人（其中男医生3人，女医生3人），护士8人（其中男护士2人，女护士6人）中选派医生、护士各三人组成卫生医疗对，要求男医生至少两人，男护士至少一人，则这样的选派方案共有__________种．（请用数字作答）【答案】360【解析】【分析】由题意先选医生，从6人中任选2男医生1女医生，或从6人中任选3男医生，共有种选法，再选护士，8人中任选3人，去掉从6名护士中选3人的情况，共有，根据乘法原理即可求出.【详解】由题意先选医生，从6人中任选2男医生1女医生，或从6人中任选3男医生，共有种选法种，护士8人中任选3人，去掉从6名护士中选3人的情况，共有种选法，根据乘法原理，选派方案共有种．【点睛】本题主要考查了组合的应用，乘法原理，属于中档题.10．过抛物线上任意一点作轴的垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】延长PQ与抛物线的准线交于H,则，根据抛物线的定义转化为,则,根据图象可知当在一条直线上时，有最小值，过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，6最小.【详解】延长PQ与抛物线的准线交于H,如图：则，根据抛物线定义得：,所以，由图象可知当在一条直线上时，有最小值，因此过F作交于,交抛物线于P，当M与重合时，最小，且，根据点到直线的距离公式可得，所以.即所求最小值为.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，及抛物线的简单几何性质，属于中档题.11．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【答案】1296【解析】【分析】从0,2,4,6,8中任取2个数字分两类考虑，若取不到0时，偶数有种取法，此时7可组成个没有重复数字的四位数，若取到0时，偶数有种取法，0不放到首位，可组成个没有重复数字的四位数,根据分类加法计数原理即可求出.【详解】根据题意，按偶数取不取0分两类，若取不到0时，偶数有种取法，此时可组成个没有重复数字的四位数，若取到0时，偶数有种取法，0不放到首位，可组成个没有重复数字的四位数，根据分类加法计数原理可知，共组成个没有重复数字的四位数.【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理，排列与组合，属于中档题.12．在正三棱柱中，点在上，且，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则__________．【答案】3【解析】【分析】连接交AP于点M，根据相似三角形知,故三棱锥与三棱锥有相同的底面，且高之比为3:1所以可得体积比.【详解】连接交AP于点M，因为，∥,根据相似三角形知,故三棱锥与三棱锥8有相同的底面，且高之比为3:1,所以,即.【点睛】本题主要考查了棱锥的体积，涉及相似三角形及等体积法，属于中档题.13．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与轴交于点（异于原点），在线段上取点，使得，连接并延长交于点，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】利用MF∥OE,可得三角形相似，利用相似比及，即可建立关系，求出离心率.【详解】如图：因为MF∥OE，所以，又∥MF,所以，又，故,所以9化简得，所以【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的简单性质，相似三角形，离心率，属于中档题.14．已知直线与椭圆交于两点（直线的斜率大于0），且，若的面积为，则直线的方程为__________．【答案】或【解析】【分析】设直线为，联立椭圆方程，利用，可得，计算原点到直线的距离及弦长，利用面积公式可得，，即可解得，写出直线方程即可.【详解】设直线为，联立椭圆方程,消元得：，当时，，因为，所以，整理得①，又原点到直线的距离，，所以，结合①得,解得或，当时，，10因为，所以，当时，，即，经检验满足，所以所求直线方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，属于难题.评卷人得分二、解答题15．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，分别为曲线与轴、轴的交点.（1）求以线段为直径的圆的极坐标方程；（2）设的中点为，求直线的极坐标方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）写出曲线C的直角坐标方程，求出N点坐标，写出为直径的圆的方程，化为极坐标方程即可（2）求出P点坐标，根据OP的倾斜角即极角写出极坐标方程.【详解】由得（1）以为直径的圆的方程为即11或经检验：（2）由，且P是中点得，因为直线OP倾斜角为，所以：【点睛】本题主要考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化，属于中档题.16．已知直线过点，曲线（为参数），直线与曲线相交于两点.（1）若直线的倾斜角为，求线段的长；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）写出直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义求解（2）根据直线参数方程代入C方程得，根据参数意义可知，求最值即可.【详解】曲线（1）参数方程为：（为参数）代入曲线的方程得：则，（由普通方程求弦长给分）12（2）参数方程为：（为参数）代入曲线的方程得：当时，的最小值为。【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.17．在平行六面体中，，平面底面，点是线段的中点，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，可证明四边形为平行四边形，得即可证明（2）根据，平面⊥底面即可证明平面，故又得证.【详解】（1）取的中点，连接、在中，为线段的中点；为线段的中点13在平行六面体中又点是线段的中点四边形为平行四边形平面平面//平面;（2）在中，，点是线段的中点又平面⊥底面，平面底面，平面平面，平面在平行六面体中，【点睛】本题主要考查了直线与平面平行，面面垂直的性质，线面垂直，属于中档题.18．在公园游园活动中，有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在每一次游戏中获奖的概率；（2）在三次游戏中，记获奖次数为，求的概率分布和数学期望.14【答案】（1）；（2）2.1【解析】【分析】（1）由题意两箱子随机各摸出2个球共有种取法，其中摸出白球不少于2个有三类共种摸法，即可求出（2）所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可知是二项分布，写出概率分布及期望即可.【详解】记“在每一次游戏中获奖”为事件（1）（2）所有可能的取值为0，1，2，3======2.1答:每一次游戏中获奖的概率为，的数学期望为2.1【点睛】本题主要考查了古典概型，二项分布，期望，属于中档题.19．已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，点与椭圆上点的最远距离为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.15（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据离心率可得a,b的关系，设出椭圆方程，设椭圆上任意一点，求出，利用二次函数求最值为6即可得出（2）设椭圆上点，则三角形面积为，利用椭圆第二定义求出，代入椭圆方程求即可.【详解】（1）由离心率为，得，设椭圆的方程为设椭圆上任意一点则==，当，即时，在时取最大值得：，；当，即时，在时取最大值得：，(舍去)椭圆的方程为。（2）设椭圆上点,则设点到右准线的距离为，由椭圆的第二定义得：16则，代入椭圆得,【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的定义，二次函数求最值，属于中档题.20．某探险队分为四个小组探险甲、乙、丙三个区域，若每个小组只能探险一个区域，且每个小组选择任何一个区域是等可能的.（1）求恰有2个小组探险甲区域的概率；（2）求被探险区域的个数的概率分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）每个小组有三个探险区域，所以总的探险不同安排方法有种，恰有2个小组探险甲区域的安排方法，先取两个小组探测甲区域，再安排另外两小组探测区域，共有种，求概率即可（2）由题意所有可能的取值为0，1，2，3，分别计算对应的概率即可.【详解】（1）记“恰有2各小组探索甲区域”为事件（2）所有可能的取值为0，1，2，317答：恰有2各小组探索甲区域的概率为，的数学期望为【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率，期望，属于中档题.21．已知函数.（1）当时，求展开式中系数的最大项；（2）化简；（3）定义：，化简：.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，，中间项为第5项，其系数最大（2）根据，令，即可求值(3)原式添加，利用倒序相加，化简即可.【详解】（1）系数最大的项即为二项式系数最大的项（2）原式（3）①②18在①、②添加，则得1+③1+④③+④得：2（1+）=【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题.22．如图，在平面直