江苏专用2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用

1第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书理苏教版1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；2(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.【知识拓展】1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.2.最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.(√)(2)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(×)(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.(√)(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.(√)(5)线性目标函数的最优解是唯一的.(×)(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.(√)(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(×)1.(教材改编)已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是______________.答案{m|m－12}解析因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)0，解得m－12.2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是__________.3答案y≤2x＋1，x＋2y4解析不等式y≤2x＋1表示直线y＝2x＋1下方的平面区域及直线上的点，不等式x＋2y4表示直线x＋2y＝4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是y≤2x＋1，x＋2y4所表示的平面区域.3.(2016·北京改编)若x，y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为________.答案4解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由2x－y＝0，x＋y＝3，得x＝1，y＝2，所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.4.(教材改编)若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为______.答案1解析根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).4令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值.顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).答案200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900，x≥0，y≥0解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于________.5答案43解析由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，43)，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.(2)(教材改编)画出二元一次不等式组x－y＋50，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域.解先画出直线x－y＋5＝0(画成虚线)，取O(0,0)代入x－y＋5＝50，∴原点不在x－y＋50表示的平面区域内，即x－y＋50表示直线x－y＋5＝0左上方点的集合，同理可得：x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左边的点的集合.故此二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分所示.命题点2含参数的平面区域问题例2(1)(2015·重庆改编)若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为________.6(2)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是_________________________________.答案(1)1(2)73解析(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝2m＋23，C点横坐标xC＝－2m，∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝12×(2＋2m)×(1＋m)－12×(2＋2m)×2m＋23＝m＋23＝43，∴m＝1或m＝－3，又∵当m＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域.因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.思维升华(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯7形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为________.(2)(2016·江苏徐州四校模拟)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是__________.答案(1)1(2)[5,7)解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5≤a7.题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值8例3(2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________.答案32解析满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C1，12为顶点的三角形内部及边界，则y＝－x＋z过点C1，12时取得最大值32.命题点2求非线性目标函数的最值例4实数x，y满足x－y＋1≤0，x≥0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.解(1)由x－y＋1≤0，x≥0，y≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示.z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在).由x－y＋1＝0，y＝2，得B(1,2)，9∴kOB＝21＝2，即zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞).(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此x2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由x－y＋1＝0，x＝0，得A(0,1)，∴OA2＝(02＋12)2＝1，OB2＝(12＋22)2＝5，∴z的取值范围是[1,5].引申探究1.若z＝y－1x－1，求z的取值范围.解z＝y－1x－1可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率.∴z的取值范围是(－∞，0].2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.解z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ2max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ2min＝(|1－1＋1|12＋－2)2＝12，∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝12＋1＝32.命题点3求参数值或取值范围例5(1)(2015·山东改编)已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4，则a的值为________.(2)已知a0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.答案(1)2(2)1210解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由x－y＝0，x＋y＝2，得B(1,1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.当a＝0时，显然不满足题意；当a0时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，z＝0，不满足题意；当a0时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，z＝2a＝4，a＝2，满足题意.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由x＝1，y＝ax－，得x＝1，y＝－2a，∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝12.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的