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自助家教网海量教学资源,免费下载高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)51.已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。求:AM与CN所成的角的余弦值;解析:(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E,则∠CNE为AM与CN所成的角。∵N为AD的中点,NE∥AM省∴NE=21AM且E为MD的中点。设正四面体的棱长为1,则NC=21·23=43且ME=21MD=43在Rt△MEC中,CE2=ME2+CM2=163+41=167∴cos∠CNE=3243432167)43()43(222222NECNCENECN,又∵∠CNE∈(0,2)∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为32.注:1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长,再回到△CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。52..如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7,31ECBEFDAF。求异面直线AB与CD所成的角。解析:在BD上取一点G,使得31GDBG,连结EG、FG在ΔBCD中,GDBGECBE,故EG//CD,并且41BCBECDEG,ABCDEFG自助家教网海量教学资源,免费下载所以,EG=5;类似地,可证FG//AB,且43ADDFABFG,故FG=3,在ΔEFG中,利用余弦定理可得cos∠FGE=215327532222222GFEGEFGFEG,故∠FGE=120°。另一方面,由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角,于是AB与CD所成的角等于60°。53.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AC1与BD所成的角的余弦.解一:连AC,设AC∩BD=0,则O为AC中点,取C1C的中点F,连OF,则OF∥AC1且OF=21AC1,所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中,OB=2221ba,OF=22221cba,BE=224121cb,由余弦定理得cos∠OB=222222222222412)41()(41)(41cbabacbcbaba=)2222222)((cbababa解二:取AC1中点O1,B1B中点G.在△C1O1G中,∠C1O1G即AC1与DB所成的角。解三:.延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE∥BD,所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角.连EC1,在△AEC1中,AE=22ba,AC1=222cba,C1E=224ca由余弦定理,得ED1C1B1A1ABDCOD1A1B1C1O1ABDCGFO自助家教网海量教学资源,免费下载cos∠EAC1=2222222222222)4()()(cbabacacbaba=)2222222)((cbabaab<0所以∠EAC1为钝角.根据异面直线所成角的定义,AC1与BD所成的角的余弦为))((2222222cbababa54.已知AO是平面的斜线,A是斜足,OB垂直,B为垂足,则直线AB是斜线在平面内的射影,设AC是内的任一条直线,解析:设AO与AB所成角为1,AB与AC所成角为2,AO与AC所成角为,则有21coscoscos。在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90,29,3,2SBBCAC,求异面直线SC与AB所成角的大小。(略去了该题的1,2问)由SA⊥平面ABC知,AC为SC在平面ABC内的射影,设异面直线SC与AB所成角为,则BACSCAcoscoscos,由29,3,2SBBCAC得2,32,17SCSAAB∴21cosSCA,172cosBAC,∴1717cos,即异面直线SC与AB所成角为1717arccos。55.已知平行六面体1111DCBAABCD的底面ABCD是菱形,且ACBOC'A'ACSBBAHCDD1B1A1C1自助家教网海量教学资源,免费下载6011BCDCDCCBC,证明BDCC1。(略去了该题的2,3问)解析:设1C在平面ABCD内射影为H,则CH为CC1在平面ABCD内的射影,∴DCHCHCCDCcoscoscos11,∴BCHCHCCBCcoscoscos11,由题意CBCCDC11,∴BCHDCHcoscos。又∵),0[,BCHDCH∴BCHDCH,从而CH为DCB的平分线,又四边形ABCD是菱形,∴BDCH∴CC1与BD所成角为90,即BDCC156..在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,求异面直线AE与CF所成角的大小。解析:连接BF、EF,易证AD⊥平面BFC,∴EF为AE在平面BFC内的射影,设AE与CF所成角为,∴CFEAEFcoscoscos,设正四面体的棱长为a,则aBFCFAE23,显然EF⊥BC,∴aEF22,BCADEF自助家教网海量教学资源,免费下载∴36cosAEEFAEF,36cosCFEFAFE,∴32cos,即AE∴与CF所成角为32arccos。57.三棱柱111BAOOAB,平面11OOBB⊥平面OAB,90,601AOBOBO,且3,21OAOOOB,求异面直线BA1与1AO所成角的大小,(略去了该题的1问)解析:在平面1BO内作1OOBC于C,连CA1,由平面11BBOO平面AOB,90AOB知,AO⊥平面11BBOO,∴BCAO,又OOOAO1,∴BC⊥平面11AAOO,∴CA1为BA1在平面11AAOO内的射影。设BA1与1AO所成角为,CA1与1AO所成角为2,则21coscoscosCBA,由题意易求得7,2,311BACABC,∴72cos111BACACBA,在矩形11AAOO中易求得CA1与1AO所成角2的余弦值:147cos2,BOO1CAB1A1自助家教网海量教学资源,免费下载∴71coscoscos21CBA,即BA1与1AO所成角为71arccos。58.已知异面直线a与b所成的角为50,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角均是30的直线有且只有()A、1条B、2条C、3条D、4条解析:过空间一点P作'a∥a,'b∥b,则由异面直线所成角的定义知:'a与'b的交角为50,过P与'a,'b成等角的直线与a,b亦成等角,设'a,'b确定平面,'a,'b交角的平分线为l,则过l且与垂直的平面(设为)内的任一直线'l与'a,'b成等角(证明从略),由上述结论知:'l与'a,'b所成角大于或等于l与'a,'b所成角25,这样在内l的两侧与'a,'b成30角的直线各有一条,共两条。在'a,'b相交的另一个角130内,同样可以作过130角平分线且与垂直的平面,由上述结论知,内任一直线与'a,'b所成角大于或等于65,所以内没有符合要求的直线,因此过P与a,b成30的直线有且只有2条,故选(B)59.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析:D60.l1、l2是两条异面直线,直线m1、m2与l1、l2都相交,则m1、m2的位置关系是()A.异面或平行B.相交C.异面D.相交或异面解析:D自助家教网海量教学资源,免费下载61.在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条()A.4B.6C.8D.10解析:A62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是()A.48对B.24对C.12对D.6对解析:BCDC'B'A'ABD'棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63..正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是()A.45°B.60°C.90°D.120°自助家教网海量教学资源,免费下载解析:BCC'DD'B'A'AB∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°64.异面直线a、b,a⊥b,c与a成30°角,则c与b成角的范围是()A.3,2B.6,2C.6,23D.3,23解Abc1c2直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°65..如图,空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动,则P、Q的最短距离为()A.12B.22C.34D.32解析:B自助家教网海量教学资源,免费下载当M,N分别为中点时。因为AB,CD为异面直线,所以M,N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理,连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN=32所以在RT△BMN中,MN=BN2-BM2=34-14=22求异面直线的距离通常利用定义来求,它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直;再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步,而忽略第一步。66.空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=√3,则AD,BC所成的角为()A.30°B.60°C.90°D.120°解BcosEMF=12+12-32211=-12注:考察异面直线所成角的概念,范围及求法,需注意的是,异面直线所成的角不能是钝角,而利用平行关系构造可求解的三角形,可能是钝角三角形,望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。67.直线a是平面α的斜线,b在平α内,已知a与b成60°的角,且b与a在平α内的射影成45°角时,a与α所成的角是()A.45°B.60°C.90°D.135°解AMFEBDCAbaOCBA自助家教网海量教学资源,免费下载A∈a,A在内的射影是C,则AC⊥于C,AB⊥b于B,则OB⊥平面ABCOB⊥BC∵cosAOC=OCOAcosAOB=cos60=OBOAcosBOC=cos45=OBOC∴cosAOC=OCOA=cosAOBcosBOC=cos60cos45=22∴AOC=4568.m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线,α与β交于l,m和n与l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置关系是A.可能垂直,但不可能平行B.可能平行,但不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.既不可能垂直,也不可能平行解析:这种结构的题目,常常这样处理,先假设某位置关系成立,在此基础上进行推理,若无矛盾,且推理过程可逆,就肯定这个假设;若有矛盾,就否定这个假设。设m//n,由于m在β外,n在β内,∴m//β而α过m与β交于l∴m//l,这与已知矛盾,∴m不平行n.设m⊥n,在β内作直线α⊥l,∵α⊥β,∴a⊥α,∴m⊥a.又由于n和a共面且相交(若a//n则n⊥l
本文标题:高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)
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