空间图形的公理

4.2空间图形的公理的应用§4空间图形的基本关系与公理学习目标掌握公理、定理的内容；能运用公理定理解答一些简单问题.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理2:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。基本题型证明线共点：先确定两条直线交点，再证交点在第三条直线上。证明点共线：证明这些点同时在两相交平面内证明点共面或线共面：先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。知识点一点、线共面例1已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．分析由题目可获取以下主要信息：①两线平行；②第三条线与它们都相交．解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其余元素也在面内．知识探究:公理定理的简单应用点评证明多线共面的方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．变式训练1两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内．已知如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证直线l1、l2、l3在同一平面内．证明∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．变式训练2如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P、Q、R三点共线．证明∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．•变式训练3•例、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．求证：点C1、O、M共线．CODABMB1C1D1A1平行公理的应用例4如图所示，E、F分别是长方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．知识探究:公理定理的简单应用证明线共点问题例3在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点．证明∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面．知识探究:公理定理的简单应用又∵GE≠FH且GH∥FH.∴四边形EFHG是一个梯形，则GH和EF延长后交于一点设为O.又O∈GH，GH平面ABD，则O∈平面ABD，同理O∈平面BCD.∴O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.则O在直线BD上．所以EF、GH、BD交于一点．点评证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，∵E是AA1的中点，∴EQ//A1D1，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1//B1C1，∴EQ//B1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E//C1Q，又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QD//C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q//DF，又∵B1E//C1Q，∴B1E//DF，∴四边形B1EDF是平行四边形．点评平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．公理4是我们证明分别在两个平面的两条直线平行的常用工具，往往通过“中间量”即第三条直线来实现．变式训练4已知在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．证明如图所示，连接AC，∵M、N分别为CD、AD的中点，∴MN12AC.由正方体性质知AC綊A′C′，∴MN12A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形．//=//=1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．注意事项(1)应用公理2时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．(2)在立体几何中，符号“∈”与“”的用法与读法不要混淆．(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.课堂小结4．平行公理表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为联系两条直线的中间环节．5．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分别平行”这个条件．要注意，等角定理的逆命题不成立．6．平面几何中的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用，不能盲目应用.课堂小结一、选择题1．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条D课后练习2．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误．3．两平面重合的条件是()A．有两个公共点B．有无数个公共点C．有不共线的三个公共点D．有一条公共直线解析根据公理2，不共线的三点确定一个平面，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合．C4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析由等角定理不难知α，β相等或互补．所以β＝60°或120°.D5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别为AA1、CC1的中点，则四边形D1PBQ是()A．正方体B．菱形C．矩形D．空间四边形解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．B二、填空题6．下列命题中，正确的是____________．(填序号)①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；②若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线；③若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于直线l，且A在l上；④两条直线不能确定一个平面．①②③7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．(填序号)①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．解析连接AO，AO是平面AB1D1和平面BB1D1D的交线，∵M∈A1C，A1C面AA1C1C，∴M∈面AA1C1C，又M∈面AB1D1，∴M∈AO，即A1M1O三点共线，因此①②③均正确．只有④不正确．答案④8．空间四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是________________．正方形9．下列命题正确的是__________________(填序号)．①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线；②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共底边适当翻折而成的空间图形；③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形；④四边都相等的四边形都是菱形；⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．①②③10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为____________．解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．①③三、解答题11．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB、CD、l共点(相交于一点)．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M.又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．