弹性中心法

AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®7.7用弹性中心法计算对称无铰拱一、弹性中心为了简化计算，采用以下两项简化措施：第一选取对称的基本结构力法方程简化为两组独立的方程，即00P2222121P1212111ΔXXΔXX0P3333ΔXFPFPABAB对称轴X1X3X2X2AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数12和21也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程：000P3333P2222P1111ΔXΔXΔXFPFPAABBKEI=∞CCxyyysOX1X1X2X2X3X3OAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的。第一步，把原来的无铰拱换成带刚臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与原来的无铰拱是等效的，可以相互代替。FPFPAABBKEI=∞CCxyyysOX1X1X2X2X3X3O第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端O处切开。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。sGAFFsEAFFsEIMMddd2Q1Q2N1N2112副系数12的算式如下：FPABEI=∞COFPABKCxyyysX1X1X2X2X3X3OAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®sEIysEIySd1d00d)()1(2112sEIyyScos,sin,sin,cos,0,0,1Q3N33Q2N22Q1N11FFxMFFyyMFFMS式中，yS为刚臂长度；为截面处拱轴切线与水平线之间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。xxxyyyyysKKKX1=1X1=1X2=1X2=1X3=1X3=1xAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®令12=21=0，便可得到刚臂长度yS为sEIsEIyySd1d为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心。如果求出yS，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图带刚臂的基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法就称为弹性中心法。ysxyydsO弹性中心EI1AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®二、荷载作用下力法方程简化为式000P3333P2222P1111ΔXΔXΔX当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时，或拱高fl/5时，或拱高fl/5且拱顶截面高度hcl/10时，还需考虑轴力对22的影响。即AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®sEIMMΔsEIMMΔsEIMMΔsEIxsEIMsEAsEIyysEAFsEIMsEIsEIMSddddddcosd)(ddd1dP3P3P2P2P1P1223332222N22222111AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔离体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起的内力表达式求得NP32NQP32QP321sincoscossin)(FXXFFXXFMxXyyXXMS弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例7-14】试用弹性中心法计算图示圆拱直墙刚架的弯矩MA和MC。设EI=常数。解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因为xqsqdcos)d(yqsqdsin)d(由于荷载对称，故反对称力X3=0qqRRABCdsqdsqdssinqdscosqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(1)求弹性中心位置RyEIREIyyEIRREIsEIsEIyyRRRRS81.0d2d2d2d)cos1(2d1d220220qqRRABCdsqdsqdssinqdscosqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)计算系数和自由项由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为1）在X1=1作用下直、曲杆段11M2）在X2=1作用下曲杆段2(1cos)0.81(0.19cos)sMyyRRR直杆段RyyyMS81.02qqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系X2=1ysy2MAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3）在荷载作用下曲杆段222P)cos1(2)sin(2qRRqM)cos1(2qR直杆段2222PqyqRM据此，可求得系数和自由项为EIRyEIREIsEIMRR14.5d12d12d2202111qqqqysyRMPMP(曲杆段)(直杆段)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®23222222220222.04d(0.19-cos)d(0.81)dRRMRsRRyRyEIEIEIEIEIqRyqyqREIRqREIsEIMMΔRR3222202P1P147.4d)22(1-2d)cos-(11-2dEIqRyqyqRRyEIRqRREIsEIMMΔRR4222202P2P243.2d)22()81.0(-2d)cos-(1)cos-(0.19-2dAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)求多余未知力X1和X22311P1187.014.547.4qRREIEIqRΔXqRREIEIqRΔX14.104.243.23422P22(4)根据叠加公式，求得（外侧受拉）2222P2127.0]2)2(2[)81.02(14.187.0)(qRRqqRRRqRqRMyyXXMSA22120.871.140.810.05CSMXXyqRqRRqR（外侧受拉）AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®三、温度变化时的计算无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图示对称无铰拱的外侧温度升高t1℃，内侧温度升高t2℃。力法计算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图所示。由于温度变化对称于y轴，因此有X3=0，力法方程简化为0022221111ttΔXΔXxxysfl/2l/2yy+t1℃+t1℃+t2℃+t2℃X1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®sFtshMtΔiiitddN0分别把、和、代入式（f），得11M01NFSyyM2cosN2FhstΔtd1sEAsEIyyltXXSdcosd)(,022021于是有这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只有水平多余力X2。当温度升高时，X2为正方向，使拱截面内产生压力；温度降低时，X2为反方向，使拱截面内产生拉力。对于混凝土拱，应注意避免由于降温引起的拉力使拱产生裂缝。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®混凝土的收缩对超静定结构的影响与温度均匀下降的情况相似，故可用温度均匀变化的计算方式来处理。混凝土的温度线膨胀系数为a=0.00001，而一般混凝土的收缩率at约为0.025%，相当于温度均匀下降25℃。若拱体的混凝土是分段分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降10℃~15℃。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®四、支座移动时的计算力法方程为000333322221111cccΔXΔXΔX式中自由项为cFΔiicRxxyyl/2l/2faabbysX1X1X2X2X3X3基本体系AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®求出各单位多余力作用于基本结构时与支座位移相应的支座反力，代入得)1(1cΔ2()1()cSSΔfyafyablblΔc2)12(3X1=1X2=1X3=11001010l/2f-ysAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®sEIxblΔXsEAsEIyyayfΔXEIsΔXcSSccd2dcosd)()(d233332222221111于是有AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®与其它超静定结构一样，无铰拱由于温度变化和支座移动引起的内力也与拱的绝对刚度有关，且成正比，拱的刚度愈大，由于温度变化或支座移动所引起的自内力也愈大