理论力学-动量定理

第三篇动力学理论力学第10章动量定理第10章动量定理从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理，即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中我们已研究过质点的动力学普遍定理。质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）与其上作用的力系特征量（主矢、主矩）和功之间的关系，每个定理都具有明显的物理意义。与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。几个有意义的实际问题动量定理与动量守恒质心运动定理应用举例第10章动量定理几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？？偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？这种运动有什么规律？会不会上下跳动？几个有意义的实际问题？蹲在磅秤上的人站起来时，磅秤指示数会不会发生的变化？几个有意义的实际问题？台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象？几个有意义的实际问题？水池隔板光滑台面抽去隔板后，将会发生什么现象？水几个有意义的实际问题动量定理第10章动量定理动量定理质点系的动量质点系的动量定理质点系的动量定理的守恒形式质点的动量——质点质量与质点速度的乘积mpv动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。动量定理动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和，称为质点系的动量。iiimPv质点系的动量是质点系整体运动的基本特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。xiixyiiyziiziiipmvpmvpmv,,动量定理注意到物理学中，质点系质心位矢公式对时间的一阶导数：iiiCmmrrvviiiCmm式中，rC为质点系质心的位矢；vC为质心的速度；m为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：Cmvp质点系的动量动量定理这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。Cmvp动量所描述的并不是质点系运动的全部，因为它不能描述质点系的转动效应。质点系的动量动量定理与动量守恒AOB椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为m，曲柄OC和连杆AB的质量忽略不计；曲柄以等角速度ω绕O轴旋转；图示位置时，角度ϕ为任意值。求：图示位置时，系统的总动量。ϕω解：以滑块A和B组成的质点系统为研究对象。求这一质点系的动量可以用两种方法：第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。参考性例题1AOBϕωAOBϕω解：第一种方法：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。BBAAmmvvp建立Oxy坐标系。xycos2sin2lxlyBAvBvA2cos2cos2sin2sinAABBvyllvxllp2sin2coslmlmij2(-sincos)lmij参考性例题1解：第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。质点系的质心在C处，其速度矢量垂直于OC，数值为vC=lωvC=lω(－sinϕi＋cosϕj)系统的总质量mC=mA+mB=2m系统的总动量p2(-sincos)lmij参考性例题1AOBϕωvBvAvC90o对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有：质点的动量定理——质点的动量对时间的一阶导数，等于作用在质点上的力ei)(ddiiiiimtFFFv其中Fii为质点系中其它质点作用在第i个质点上的力（即内力）；Fei为质点系以外的物体作用在第i个质点上的力（即外力）。质点系的动量定理动量定理与动量守恒ei)(ddiiiiimtFFFv对于由n个质点所组成的质点系可列出n个这样的方程，将方程两侧的项分别相加，得到iiiiiiimtei)(ddFFv注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出现，因此质点系的内力的矢量和等于零，于是上式变为ed()dvFiiiiimt质点系的动量定理动量定理与动量守恒ed()dvFiiiiimtedpFdiit这就是微分形式的质点系动量定理(theoremofthemomentumofthesystemofparticles)，即：质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。质点系的动量定理动量定理与动量守恒edpFdiit将上述方程两侧积分，便得到积分形式的质点系动量定理，也称为质点系的冲量定理(theoremofimpulse)：iiitteite1221dIFpp质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。质点系的动量定理动量定理与动量守恒21ttdtIF称为力F在时间间隔t1-t2内的冲量ddtIF称为力F的元冲量ed,diitpFiiitteite1221dIFpp如果作用在质点系上的外力主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。112Cpp这就是质点系动量守恒定律(theoremoftheconservationofmomentumofasystemofparticles)。式中C1为常矢量，由运动的初始条件决定。质点系动量守恒定律动量定理与动量守恒实际应用质点系的动量定理时，常采用投影式：eeeddd,,dddyxzixiyiziiipppFFFttt若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。例如e20,RxxFpC式中C2为常量，由运动初始条件决定。质点系动量守恒定律动量定理与动量守恒质心运动定理第10章动量定理返回返回总目录质心运动定理(theoremofthemotionofthecenterofmass)是质点系动量定理的另一种形式。iiicmmvvpeddiitpFeddddCiimttvpFddvaCCteCiimaF质心运动定理质心运动定理——质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。eCiimaF质心运动定理在直角坐标系中的投影式为：eeeCixiCiyiCizimxFmyFmzF——质心加速度在直角坐标轴上的投影CCCzyx,,质心运动定理——守恒形式如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则有e0iiF0CaCvC这表明：质点系的质心作匀速直线运动。如果系统初始为静止状态，，则质心的位矢为常矢量，，质心位置保持不变，即质心守恒。0Cv1CCr质心运动定理eCiimaFiizCiiyCiixCFzmFymFxmeee如果外力主矢在某一轴（例如x轴）上的投影为零，则有eeR0xixiFF0Cxa2CxvC质心速度在某一坐标轴（例如x轴）上的投影为常量。如果质心初始为静止状态，即vCx=0,则质心在x轴上的坐标保持不变，即。——守恒形式质心运动定理3CxC动量定理应用举例求解动力学问题的步骤基本相同，但是采用不同的定理时，都有一些需要特别注意之处。应用动量定理和质心运动定理时，需要特别注意这两定理的守恒形式。例题1图示系统中，三个重物的质量分别为m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为m4。如略去一切摩擦和绳子的重量。3．若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块1下降s时，系统对凸起部分的水平压力。求：1．系统动量的表达式；2．系统初始静止，当物块1下降s时，假设物体相对四棱柱体的速度已知，四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。动量定理应用举例解：1.确定系统的动量表达式。建立坐标系如图示。根据jivp)()(iyiiixiiiiivmvmm取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为vr，则vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(0)(0sin4r32r1mvmmvmpyjip)sin(])cos()[(31r214321mmvmmvmmmm例题1动量定理应用举例解：2.确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。因不计一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即1r2r34(cos)()0xpmvvmvvmvmv123412r()(cos)0mmmmvmmv由此解得r432121cosvmmmmmmv－例题1动量定理应用举例解：2.确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，得到四棱柱体的位移。r432121cosvmmmmmmv－smmmmmmx432121cos－例题1动量定理应用举例解：3.确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。设物块相对四棱柱体的加速度为ar，由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，根据质心运动定理，并注意到故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律求出。aare40aaiixcxmama得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力12coscxmamamaF例题1动量定理应用举例例题2动量定理应用举例电动机的外壳和定子的总质量为m1,质心C1与转子转轴O1重合；转子质量为m2，质心O2与转轴不重合，偏心距O1O2=e。若转子以等角速度ω旋转求：电动机底座所受的水平和铅垂约束力。例题2动量定理应用举例解：1、选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为研究对象。2、系统所受的外力：定子所受重力m1g;转子所受重力m2g;底座所受约束力Fx、Fy、M。m1gm2gFxFyM例题2动量定理应用举例3、各刚体质心的加速度aC1＝aO1=0;aC2＝aO2＝eω2(向心加速度)例题2动量定理应用举例m1gm2gFxFyM2Ca,eRxiCixiFameRyiCiyiFam4、应用质心运动定理,eRxiCixiFameRyiCiyiFam4、应用质心运动定理2120cosxmmetF212120sinymmetFmgmg例题2动量定理应用举例22cosxFmet2122sinyFmgmgmet电动机的外壳和定子的总质量为m1,质心C1与转子转轴O1重合；转子质量为m2，质心O2与转轴不重合，偏心距O1O2=e。转子以等角速度ω旋转。如果底座与基础之间没有螺栓固定，初始条件为：ϕ＝0，vO2x=0,vO2y=eω求：1、电动机跳起的条件；2、外壳在水平方向的运动规律。例题3动量定理应用举例解：1、选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为研究对象，分析系统的受力：定子所受重力m1g;转子所受重力m2g;由于底座与基础之间没有螺栓固定，所以没有水平方向约束力，只有约束力Fy、M。FyMm2gm1g例题3动量定理应用举例FyMm2gm1g解：2、分析运动，确定各个刚体质心的加速度定系Oxy固结于地面；xyOy1x1aO2外壳作平移，其质心加速度为aO1;转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成：ae=aO1(牵连加速度，水平方向);ar=aO2=eω2(相对加速度，指向O1)。aO1aO1动系O1x1y1固结于外壳。例题3动量定理应用举例解：3、应用质心运动定理确定约束力eRyiCiyiFamgmgmFtemmy21221sin0temgmgmFysin2221FyMm2gm1gxyOaO1aO1例题3动量定理应用举例解：4、分析电动机跳起的条件；temgmgmFysin2221当偏