理论力学8―点的合成运动NN

第八章点的合成运动8.1点的合成运动的概念8.2点的速度合成定理8.3点的加速度合成定理第8章点的合成运动在实际问题中，往往不仅要知道物体相对地球的运动，而且有时要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情况。例如在运动着的飞机、车船上观察其他飞机、车船的运动。在运动学中，所描述的一切运动都只具有相对的意义。在不同的参考系中观察到的同一物体的不同运动特征之间存在着一定的联系。本章利用运动的分解、合成的方法对点的速度、加速度进行分析，研究点在不同参考系中的运动，以及它们之间的联系。8.1点的合成运动的概念8.1点的合成运动的概念物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、加速度等）。1.两种参考系8.1点的合成运动的概念8.1点的合成运动的概念8.1点的合成运动的概念8.1点的合成运动的概念8.1点的合成运动的概念不同的观察者观察的结果不同。车上的人以车厢为参考系观察到车轮边缘一点在做圆周运动。站在地面上的人以大地为参考系观察到车轮边缘一点的轨迹如图中所示。两种参考系静参考系（定系或静系）在分析问题中，认定不动的参考系。动参考系（动系）相对于静系运动着的参考系。一般没特别说明，常以固连于地球的参考系取为静系。8.1点的合成运动的概念Oxyz为定参考系O’x’y’z’为动参考系研究运动的点为动点xyzo'y'z'x'oM绝对运动(absolutemotion):动点相对于定参考系的运动。相对运动(relativemotion):动点相对于动参考系的运动。牵连运动(convectedmotion):动参考系相对于定参考系的运动。2.三种运动8.1点的合成运动的概念3.两种运动轨迹相对运动轨迹：动点相对于动系的运动轨迹。绝对运动轨迹：动点相对于定系的运动轨迹。定参考系动参考系动点牵连运动一点、二系、三运动8.1点的合成运动的概念绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度aaevearvraav牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：8.1点的合成运动的概念oo1M2M1ev1ea2ev2ea例7-1求圆盘边缘和点的牵连速度和加速度，其中杆长OO´为l。1M2M【解】静系取在地面上，动系取在杆上，则)(1rlve21)(rlae222rlve2222rlaer8.1点的合成运动的概念重点要弄清楚牵连点的概念如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运动就是它的绝对运动；动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定于动参考系的运动即牵连运动，动点的绝对运动可以看成是牵连运动和相对运动的合成结果。所以绝对运动也称为复合运动或合成运动。点的合成运动8.1点的合成运动的概念由于牵连运动的存在，使物体的绝对运动和相对运动发生了差别。几点说明本章只研究点的复合运动理论，通过牵连运动来建立绝对运动和相对运动之间的联系，给出这些运动特征量（轨迹、速度、加速度）之间的关系。在复合运动的研究中，参考系的选择是问题的关键。恰当的选择参考系，能把复杂的运动分解为若干种简单运动，或由若干种简单运动组成各种不同的复杂运动。必须指出在这一章，绝对运动、相对运动都是指点的运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动；而牵连运动是指刚体的运动，可能是平动、定轴转动或下一章的平面运动等。8.1点的合成运动的概念4.牵连点的概念动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。（2）、进一步说明（1）、定义由于相对运动，动点在动系上的位置随时间改变，所以牵连点具有瞬时性。（3）、注意8.1点的合成运动的概念1.动点对动系要有相对运动。1.选择持续接触点为动点。2.对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。根据选择原则具体问题具体分析。基本原则：具体选择方法：5、动点和动系的选择2.动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。实例一：车刀的运动绝对运动：直线运动动点：车刀刀尖动系：工件牵连运动：定轴转动相对运动：曲线运动（螺旋运动）8.1点的合成运动的概念实例二：飞机螺旋桨上一点的运动牵连运动：直线运动动点：P动系：机身相对运动：定轴转动绝对运动：曲线运动（螺旋运动）8.1点的合成运动的概念实例三回转仪的运动相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动绝对运动：空间曲线运动动点：Ｍ点动系：框架8.1点的合成运动的概念动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？练习题1动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？练习题2动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？练习题3练习题4动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？练习题5动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？练习题6动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？思考题1思考题1动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？思考题2思考题2动点？动参考系？绝对运动？牵连运动？相对运动？思考题3思考题3试比较其共同点思考题4思考题4试比较其共同点绝对速度va：动点相对于定系的速度。三种速度牵连速度ve：动系上与动点相重合的点相对于定系的速度。相对速度vr：动点相对于动系的速度。8.2点的速度合成定理三种运动轨迹三种运动轨迹设动点M在动系中沿某一曲线AB作相对运动，而动系本身相对定系作运动，相应的运动轨迹如下8.2点的速度合成定理牵连点运动轨迹zxyOz'x'y'M(m)M'(m')绝对运动轨迹相对运动轨迹M1(m1)三种运动轨迹M2(m2)8.2点的速度合成定理速度合成定理(1)limlimlim10100tMMtMMtMMttteravvvMMMMMM11a0limvtMMtr2010limlimvtMMtMMtte1010limlimvmttvtmmtMM动点M在时间△t内的绝对位移则有分析其中各项代入（1）式可得z'x'y'rr1r'M(m)M'(m')M1(m1)M2(m2)vevavr8.2点的速度合成定理绝对速度牵连速度相对速度动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。eravvvz'x'y'rr1r'M(m)M'(m')M1(m1)M2(m2)vevavr速度合成定理8.2点的速度合成定理几点说明eravvv牵连运动是指刚体(动系)的运动；而牵连速度是指刚体上一点(与动系相重合的点)的速度。速度合成定理为平面矢量方程，由此可以采用投影法:即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。写出两个投影式，所以可以求解两个未知量。速度合成定理对任意形式的牵连运动都适用。8.2点的速度合成定理应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。例1如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度w绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。ABeCOqvevavrqcotaeevvOAeOAqtaneavvq解：因为杆AB作平动。选取杆AB的端点A作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕O轴的转动。例2如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1。解：在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122sinsin()eaevvrrvOAlr2221122()rOAlrlrAO1OBvevavr例3水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：sinsinuvveasineavvuABOMrvrvave例4求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设OA=a,AC＝b。解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有vAqBCOvavevrvCsinsineavvvqqOCsineOCvvOAaqsinCOCabvOCvaqaervvv例5AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动，两条杆的夹角为a，求套在两杆上的小环M的速度。αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。取M为动点，CD为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos)/sinrrvvvvvvaaaa将等式两边同时向y轴投影：则动点M的绝对速度为：222212222221212cos()sin12cossinaervvvvvvvvvvaaaa=αMABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例6在水面上有两只舰艇A和B均以匀速度v=36km/h行驶，A舰艇向东开，B舰艇沿以O为圆心、半径R=100m的圆弧行驶。在图示瞬时，两艇的位置S=50m,Φ=30°，试求：（1）B艇相对A艇的速度。（2）A艇相对B艇的速度。东北ΦBAROS东北Φ=30°BAROSVe1Va1Vr130°30°(1)求B艇相对于是A艇的速度。以B为动点，动系固连于A艇。由图（b）的速度矢量111Baervvvv110(/),BAevvvms12cos3017.32(/)rvvms(2)求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。smvOAve/5502smva/1022222211.2/rervvvms5.0105tan22aevva‘3426a东北Φ=30°BAROSVa2Vr2Ve2α可见，A相对B的速度并不一定等于B相对A的速度。OABAvBvR例7如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶，车B沿直线道路以匀速行驶，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的速度。hkmvA45hkmvB60解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216.07545sin11rAvva9.361aOABAvBvRev1rv1axy（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxyev2rv2asradRvA/083.0150360010453skmsmve/54/15083.0180hkmvvveBr/72.80222669.072.8054sin22revva422a8.