二面角的平面角求法综合

二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：(1)定义法——直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角.二面角的求法二面角的求法(2)三垂线法——利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小.(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角.ABDO(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角的大小为COS＝S’÷SCE2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？探究准备：答：相等或互补αβm互补αβ相等m1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa22又∵∠MPN=60º∴CD=PCa2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且OEBC212221在Rt△POE中，OE，PO22tanPEO∴22∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。2∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角23在Rt△PBE中，BE，PB=1，PE21OE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。βαACBOD练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD=,∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′=，求△AB′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。157ABCB’DO二面角2探究一：试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图：∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E为SC的中点，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角。∵AB⊥BC，∴AC===a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300，∴∠CDE=900--∠SCA=600解毕。22ABSA2222BCAB222aa3ACSA33议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？请各小组讨论交流一下。SECABD探究二：试一试例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。∵F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,又∵∠DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1⊥PB,∴PB⊥面DD1B,故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即为所求.解毕。解法一：A1D1C1B1FADCBPE解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1⊥底面ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,∴∠AEF=450，即为所求。思考：这种解法同解法一有什么异同？解法三：法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=(x0,y0,z0)。则⊥且⊥∴2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即=（1，，2）设所求二面角的平面角为θ，则COSθ==,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyz3333F11DDuDDu221DDBFBD1uuFBuBD1u33解法四：A1D1C1B1FCBDA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，△BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由射影面积关系可得COSθ=ＳABD／ＳBＦＤ1（θ是所求二面角的平面角）以下求面积略。点评：这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好1111111,,.ABCDABCDBACB例1、如图在正方体中求二面角的平面角的正切值1D1C1B1ADCBAE111:,,ACEBEBE解取的中点，连接1111111111111,,,ABBCBEACBEACBEBBACB同理为二面角的平面角11111111111tan2arctan2BBBBACBBBEBEBBEBACB面二面角的平面角为第一步:作第二步:证(指出)第三步:求注:定义法求二面角.00260,,30,10?(0.1)CDABm例、河堤斜面与水平面所成的二面角为堤面上有一条直道它与堤脚的水平线的夹角为沿这条直道从堤脚向上行走时人升高了多少精确到米CFDGEB0300000:,10,,,.,,,.,.,,60.13sin60sin30sin60102.534.3().22:CDECEmEABEGGEGEFABFFGFGABEFGABGEFGEGEFCEm解取上一点设过点作直线所在的水平面的垂线垂足为则线段的长就是所求的高度在河堤斜面内作垂足为并连结由三垂线定理的逆定理可知因此就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角由此得答沿直道行走104.3.mm到时人升高约三垂线法003,,,45,30,.AMNMNAPAPMNPAMMN例、如图点在锐二面角的棱上在面内引射线使与所成的角与面所成的角大小为求二面角的大小:,;,;.,.PCMNCPBBCACPCBMN解作垂足为过点作的垂线交于连结、由三垂线定理可知即为二面角的平面角NMAPCB2232,,2221,,222.4PAaABaACaaPBPCaBCABACaPCB设则三垂线法:9.6.2.:ACCD类型题学案阅读要求与检测提示证明BACDP4,例、自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线求证它们所成的角与这个二面角的平面角互补.aONMP:,,,,,,OMNOMONOMNPPMPN证明过点作面和面的垂线垂足分别为、设所确定的平面交棱于点连结00.90,180.OMOMaaONaMONOMONaMPNOMPONPMPNMON同理面即为二面角的平面角又则点O在二面角内—垂面法0120,10,.PaPPa变式：为的二面角内一点到和的距离均为求到棱的距离aPNMO():203:2sin3OPPMNMNPMNROPMPN另解正弦定理法为四边形外接圆直径也即外接圆直径在中由正弦定理得ABESCD5,,,,,..SAABCABBCSAABSBBCESCDESCACDEBDC例、已知平面是的中点交于求二面角的大小SCDB:ESCBESCSCBDEDESCDBBDE解为中点面面00,2,,2,3060.EDCEBDCSAABaSBBCaBCABABSBABCBCSCaSCADESCEDC由二面角的定义知即为二面角的大小设则为在面内的射影,则SC又SAABCDBSADBABC又面面,DBSACDBACDBDE面SCSAS111111(1):1,,256,,3,,2463cos,sin33ABDMDBABDMDBSMDBMDDBDBSSSSS射原法解设正方体边长为则在中由可得利用射影面积公式ABCDA1B1C1D1M1111116,,.ABCDABCDMAAMDBABCD例、已知正方体是的中点求平面与底面所成锐二面角平面角的正弦值ABCDA1B1C1D1MEN11111(2):,.,,,.,,,,,.1231,,,,2223sin.3MBABEDEDMDBDABCDEMBMDBEABABCDMDBABCDDEAANDEDENMNMAABCDMNDEMNAMAANMNMAMNAMN法解延长、交于点连结面面且面面面面过点作交于连结面根据三垂线定理即为两平面夹角设正方体边长为则M例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小.ABCD33N222MADNBMN2,MACMN//CD61113,,.222226cos,236arccos.3BMACMNACBACDABACBCBMMNCDBNADBMMNBNBMNBMMNBMN作于，作交于，则就是二面角的平面角由是的中点，且得由余弦定理得：则解PEDACBD1A1C1B1F例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，又SA＝AB＝ａ，SB＝BC,（1）求证：SC⊥平面BDE,（2）求二面角E－BD－C的大小?SABCED0001SBBCESCBESCDESCSCBDESCBDEBDSCSAABCBDSABDSACCDEEBDCABBCABaBC=2aAC3aSAa3RtSAC