考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

圆学子梦想铸金字品牌-1-温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点50离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.（2013·广东高考理科·Ｔ4）已知离散型随机变量X的分布列为X123p35310110则X的数学期望E（x）=（）A.32B.2C.52D3【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式，可以直接代入计算.【解析】选A.331153()12351010102Ex.2.（2013·湖北高考理科·Ｔ9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均E(X)=（）A.125126B.56C.125168D57【解题指南】先求分布列，再求E(X)。【解析】选B.83;125p362;125p541;125pE(X)=2472546.125121255圆学子梦想铸金字品牌-2-二、填空题3.（2013·上海高考理科·T10）设非零常数d是等差数列12319,,,,xxxx的公差，随机变量等可能地取值12319,,,,xxxx，则方差_______D【解析】10Ex，22222222(981019)3019dDd．【答案】230d.4.（2013·上海高考文科·T6）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为.【解析】7880100607510040平均成绩【答案】78.三、解答题5.（2013·四川高考理科·Ｔ18）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部圆学子梦想铸金字品牌-3-分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.【解题指南】求解本题的关键是理解题意,并且弄清框图的功能,找到随机变量可能的取值,列出分布列再求数学期望.【解析】(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.圆学子梦想铸金字品牌-4-当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1=12;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,故P2=13;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3=16.所以输出y的值为1的概率是12,输出y的值为2的概率是13,输出y的值为3的概率是16.(Ⅱ)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.(Ⅲ)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.P(=0)=C30(13)0(23)3=827,P(=1)=C31(13)1(23)2=49,P(=2)=C32(13)2(23)1=29,P(=3)=C33(13)3(23)0=127.故的分布列为0123P8274929127圆学子梦想铸金字品牌-5-所以,E=0827+149+229+3127=1,即的数学期望为1.6.（2013·四川高考文科·Ｔ18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生。（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iPi；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117圆学子梦想铸金字品牌-6-…………21001051696353当2100n时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为(1,2,3)ii的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。【解题指南】求解本题的关键是证明理解题意，并且弄清框图的功能，在第(Ⅱ)问中应比较频率的趋势与概率进行判断.【解析】(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=12;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=13;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=16.所以输出y的值为1的概率是12,输出y的值为2的概率是13,输出y的值为3的概率是16.(Ⅱ)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.7.(2013·天津高考理科·T16)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,圆学子梦想铸金字品牌-7-编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法,再求概率.(2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列,求数学期望.【解析】(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则13222525476().7CCCCPAC所以，取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.33471(1),35CPXC34474(2),35CPXC35472(3),7CPXC36474(4),7CPXC所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747随机变量X的分布列和数学期望1424171234.35357758.(2013·浙江高考理科·T19)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列.(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得圆学子梦想铸金字品牌-8-分数.若E(η)=53,D(η)=59,求a∶b∶c.【解题指南】(1)在分析取到两球的颜色时,要注意是有放回地抽取,即同一个球可能两次都能抽到;(2)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系.【解析】(1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6,故3312664P，23213663P，23122546618P，22115669P，11166636P所以的分布列为23456P141351819136（Ⅱ）由题意知的分布列为123Paabcbabccabc所以2353abcEabcabcabc22255551233339abcDabcabcabc化简得2404110abcabc，解得3,2acbc所以::3:2:1abc.9.（2013·重庆高考理科·Ｔ18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，圆学子梦想铸金字品牌-9-再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()EX．【解题指南】首先设出相应的事件,根据古典概型的公式求出恰好摸到一个红球的概率,然后再求出相应事件的概率列出分布列求出期望.【解析】设iA表示摸到i个红球,jB表示摸到j个蓝球,则)3,2,1,0(iAi与)1,0(jBj独立.（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为3518)(3724131CCCAP（Ⅱ）X的所有可能值为200,50,10,0,且105131)()()()200(37331313CCBPAPBAPXP105232)()()()50(37330303CCBPAPBAPXP3541051231)()()()10(3714231212CCCBPAPBAPXP76354105210511)0(XP综上知,X的分布列为X20050100圆学子梦想铸金字品牌-10-P7635410521051从而有4105120010525035410760)(XE(元).10.（2013·湖南高考理科·Ｔ18）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.【解题指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中内部3株,边界12株,结合题意求解相应概率.(2)先弄清15株满足相应年产量的各有多少株,然后求出对应的概率,写出分布列再求期望.【解析】(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有3611213CC种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8圆学子梦想铸金字品牌-11-种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机