《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第二章 幂函数与二次函数

名师伴你行2016级高考数学一轮复习课件§2.8幂函数与二次函数[高考调研明确考向]考纲解读•了解幂函数的概念•结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图像，了解它们的变化情况．•理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．•会求二次函数在闭区间上的最值．•运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题.考情分析•关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图像与性质，多以小题形式出现，属容易题．•二次函数的图像及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．•题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.知识梳理1.常用幂函数的图像与性质图像定义域□1______□2______□3_____□4_____□5____值域□6_____□7_____□8_____□9___□10____奇偶性□11_____□12_____□13____□14___□15____单调性□16_____□17_____□18_____□19___□20____定点□21________________2.二次函数的表示形式(1)一般式：y＝□22________________；(2)顶点式：y＝□23_____________，其中□24__________为抛物线顶点坐标；(3)零点式：y＝□25________________，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标．3．二次函数的图像及其性质a＞0a＜0图像定义域□26_____________□27___________a＞0a＜0值域□28______________□29_____________对称轴□30____________________顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数a＞0a＜0x∈□31____是减函数x∈□34___是增函数单调性x∈□32____是增函数x∈□35___是减函数最值当x＝－b2a时，ymin＝□33__________当x＝－b2a时，ymax＝□36________答案：□1R□2R□3R□4[0，＋∞)□5{x|x∈R且x≠0}□6R□7[0，＋∞)□8R□9[0，＋∞)□10(－∞，0)∪(0，＋∞)□11奇函数□12偶函数□13奇函数□14非奇非偶函数□15奇函数□16在R上递增□17在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)递增□18在R上递增□19在[0，＋∞)上递增□20在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减□21□21(1,1)□22ax2＋bx＋c(a≠0)□23a(x－h)2＋k(a≠0)□24(h，k)□25a(x－x1)(x－x2)□26R□27R□284ac－b24a，＋∞□29－∞，4ac－b24a□30x＝－b2a□31－∞，－b2a□32－b2a，＋∞□334ac－b24a□34－∞，－b2a□35－b2a，＋∞□364ac－b24a名师微博●五个代表函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图像和性质的代表．●两种方法函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像关于x＝x1＋x22对称．(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称(a为常数).基础自测1.若幂函数的图像过点2，14，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)解析：设y＝xα，则14＝2α，α＝－2，则幂函数为y＝x－2，其单调递增区间为(－∞，0)，故选D.答案：D2．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3解析：∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴α＝－1不符合题意，排除B、C、D，故选A.答案：A3．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25解析：由题知，m8≤－2，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m≥25.答案：A4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于()A．3B．2或3C．2D．1或2解析：函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件f1＝1，fb＝b，b＞1，即b2－3b＋2＝0，b＞1.解得b＝2.答案：C5．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，则a≠0，b＝－2，2a2＝4.因此f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋4[例1](2010·安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()A.考点一二次函数的图像B.C.D.解析：若a＞0，则bc＞0，根据选项C、D，c＜0，此时只有b＜0，二次函数的对称轴方程x＝－b2a＞0，选项D有可能；若a＜0，根据选项A，c＜0，此时只能b＞0，二次函数的对称轴方程x＝－b2a＞0，与选项A不符合；根据选项B，c＞0，此时只能b＜0，此时二次函数的对称轴方程x＝－b2a＜0，与选项B不符合．综合知只能是选项D.答案：D方法点睛分析二次函数的图像，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图像的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图像判断类似题要会根据图像上的一些特殊点进行判断，如函数图像与正半轴的交点、函数图像的最高点与最低点等．变式训练1已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是()A．B．C．D.解析：∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.∴y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，且不过原点．答案：D[例2]函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图像并写出g(t)的最小值．考点二二次函数的性质解析：(1)f(x)＝(x－1)2＋1.当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1.当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，g(t)＝f(1)＝1当t≥1时，g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1综上可知g(t)＝t2＋1，t≤0，1，0＜t＜1，t2－2t＋2，t≥1.(2)g(t)的图像如图所示，可知g(t)在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.方法点睛①二次函数y＝ax2＋bx＋c，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图像的顶点坐标公式求出；②二次函数y＝ax2＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图像对称轴的位置，通过讨论进行求解．变式训练2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－a，∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5或a≥5.[例3]已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3＜(3－2a)－m3的a的取值范围．考点三幂函数的图像和性质解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图像关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13＜(3－2a)－13等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或23＜a＜32.故a的取值范围为{a|a＜－1或23＜a＜32}．方法点睛本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图像求出参数a的取值范围．变式训练3幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|，那么αβ＝()A．1B．2C．3D．无法确定解析：方法一：由条件得M13，23，N23，13，由一般性，可得13＝23α，23＝13β，即α＝方法二：由方法一，得13＝23α，23＝13β，则13αβ＝13βα＝23α＝13，即αβ＝1.思想方法(二)如何求解二次函数在某个闭区间上的最值问题研究：二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．解决方案：对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．[示例](2013·济南调研，12分)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．思维突破：求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．解答示范：∵f(x)＝－4x－a22－4a，∴抛物线顶点坐标为a2，－4a.(1分)①当a2≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a2＜1，即0＜a＜2时，x＝a2时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝54∈(0,2)；(7分)③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝54或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－10516或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)解后反思：求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论.