12复数十年高考题(带详细解析)

第十二章复数※1.（2003京春文7，理3）设复数z1=－1+i，z2=2321i，则arg21zz等于（）A.－125πB.125πC.127πD.1213π2.（2003上海春，14）复数z=iim212（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（2，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（）A.θ＋49B.θ＋4C.θ4D.θ＋474．（2002全国，2）复数（2321i）3的值是（）A.－iB.iC.－1D.15.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝i62，则argz1是（）A.6B.611C.3D.35※7.（2000京皖春文，11）设复数z1＝－1－i在复平面上对应向量1OZ，将图12—11OZ按顺时针方向旋转65π后得到向量2OZ，令2OZ对应的复数z2的辐角主值为θ，则tanθ等于（）A.2－3B.－2＋3C.2＋3D.－2－3※8.（2000全国，2）在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是（）A.23B.－23iC.3－3iD.3+3i※9.（2000上海理，13）复数z＝)5sin5(cos3i（i是虚数单位）的三角形式是（）A.3［cos（5）＋isin（5）］B.3（cos5＋isin5）C.3（cos54＋isin54）D.3（cos56＋isin56）10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.（2000京皖春理，11）设复数z1＝2sinθ＋icosθ（4＜θ＜2)在复平面上对应向量1OZ，将1OZ按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ，2OZ对应的复数为z2＝r（cos＋isin），则tan等于（）A.1tan2tan2B.1tan21tan2C.1tan21D.1tan21※12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A.i2123B.i2123C.±i2123D.±i212313.（1996全国，4）复数54)31()22(ii等于（）A.1+3iB.－1+3iC.1－3iD.－1－3i14.（1994上海，16）设复数z=－2321i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（）A.3B.4C.6D.715.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）A.1B.2C.2D.5二、填空题16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+z＞2的一个充要条件是z满足.17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为．18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝．19.（2001上海春，2）若复数z满足方程zi=i－1（i是虚数单位），则z=_____.20.（1997上海理，9）已知a=ii213（i是虚数单位），那么a4=_____.21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）z=4+3i，那么z=_____.三、解答题22.（2002上海春，17）已知z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝iz2，且|w|＝52，求w．23.（2002江苏，17）已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝（a＋2z）2．24.（2001京皖春，18）已知z7＝1（z∈C且z≠1）.（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0；（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值.※25.（2001全国理，18）已知复数z1＝i（1－i）3.（Ⅰ）求argz1及|z1|；（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．（Ⅰ）设α是方程x＋21x的一个根，试用列举法表示集合Mα；（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：MωMz．27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝．（Ⅰ）设z是方程x+x1=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.29.（2000上海理，22）已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝0z·z，|ω|＝2|z|．（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.※30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜2）的最大值以及对应的θ值.※31.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数z（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.※32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.※33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.※34.（1998上海理，18）已知向量OZ所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将OZ绕原点O按顺时针方向旋转4得1OZ，设1OZ所表示的复数为z′，求复数z′+2i的辐角主值.※35.（1997全国文，20）已知复数z=2321i，w=2222i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.36.（1997全国理，20）已知复数z=2321i，ω=2222i.复数z，z2ω3在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.37.（1997上海理，20）设虚数z1，z2满足z12=z2.（1）若z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2；※（2）若z1=1+mi（m＞0，i为虚数单位），ω=z2－2，ω的辐角主值为θ，求θ的取值范围.38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+z1是实数，且－1＜ω＜2.（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；（Ⅱ）设u=zz11，求证：u为纯虚数；（Ⅲ）求w－u2的最小值.39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=2321i.求z1、z2的值.※40.（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.※42.（1994全国理，21）已知z=1+i，（Ⅰ）设w=z2+3z－4，求w的三角形式.（Ⅱ）如果122zzbaxz=1－i，求实数a，b的值.43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为43π，且4)(2为实数，求复数w.答案解析1.答案：B解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z1、z2的辐角主值.argz1=43π，argz2=3.所以arg12534321zz∈［0，2π），∴arg12521zzπ.解析二：因为iiiiizz)2123()2123()2321)(1(2321121.在复平面的对应点在第一象限.故选B评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.2.答案：A解析：由已知z=51)21)(21()21)(2(212iiiimiim［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则0104mm而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝2（cos4＋isin4）（cosθ＋isinθ）＝2［cos（θ＋4）＋isin（θ＋4）］∵θ∈（2，π）∴θ＋4∈（43，45）∴该复数的辐角主值是θ＋4．4.答案：C解法一：（2321i）3＝（cos60°＋isin60°）3＝cos180°＋isin180°＝－1解法二：ii2321,2321，∴1)()()2321(333i5.答案：D6.答案：D解法一：35arg21arg),3sin3(cos22)2321(22zziiz解法二：)31(2iz∴22311iz∴z1,0223,0221应在第四象限，tanθ＝3，θ＝argz1．∴argz1是35π．7.答案：C解析：∵argz1＝45π，argz2＝125π∴tanθ＝tan125＝tan75°＝tan（45°＋30°）＝323333．8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是iiiii32)2321)(33()]3sin()3)[cos(33(．9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数)5sin5(cos3iz对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数)5sin5(cos3iz直接化为复数的三角形式，即).54sin54(cos3)]5sin()5[cos(3)5sin5cos(3iiiz10.答案：D解析：1223arg47,47arg,6arg02121zzzz．11.答案：A解析：设z1＝2sinθ＋icosθ＝|z1|（cosα＋isinα），其中|z1|＝||sin2cos,cossin4122z，sinα＝||cos1z（24）．∴z2＝|z1|·［cos（α43）＋isin（α43）］＝r（cos＋isin）．∴tan＝1tan21tan2cossin2cossin2sincossincos)43cos()43sin(cossin12.答案：D解法一：∵－i=cos23+isin23∴－i的三个立方根是cos3223sin3223kik（k=0，1，2）当k=0时，iii2sin2cos323sin323cos；当k=1时，iii212367sin67cos3223sin322