3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域一、引入一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人货款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金呢？问题：这个问题存在一些不等关系，应该用什么不等式模型来刻划它们呢？1、建立不等式模型设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元。xy（1）把实际问题转化为数学问题：（2）把文字语言转化为符号语言：资金总数为25000000元，得到‥‥‥①25000000yx由于企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，得到即30000%10%12yx30000001012yx‥‥‥②二、新知探究（3）抽象出数学模型：分配资金应满足的条件：003000000101225000000yxyxyx考虑到企业贷款和个人贷款的资金数都不能是负值，于是‥‥‥③0,0yx二元一次不等式二元一次不等式组2、定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组；探究：二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3、探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形探究1：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？如：不等式组的解集为0403xx数轴上的一个区间（如图）（1）回忆、思考回忆：一元一次不等式（组）的解集所表示的图形是——数轴上的区间。（2）探究Oxyx–y=6左上方区域右下方区域特殊：二元一次不等式x–y6的解集所表示的图形。作出的图像——6yx一条直线直线把平面分成三部分：直线上、左上方区域和右下方区域。直线上验证：设点P（x，y1）是直线x–y=6上的点，选取点A（x，y2），使它的坐标满足不等式x–y6，请完成下面的表格，横坐标x–3–2–10123点P的纵坐标y1点A的纵坐标y2-9-8-6-7-5-4-3-8-6-3-5640Oxyx–y=6),(1yxP),(2yxA（2）探究1.当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？2.直线x–y=6左上方点的坐标与不等式x–y6有什么关系？3.直线x–y=6右下方点的坐标呢？Oxyx–y=6(A点纵坐标大于P点纵坐标)（左上方点的坐标满足不等式）（右下方点的坐标不满足不等式）),(2yxA),(1yxP在平面直角坐标系中，二元一次不等式x–y6的解为坐标的点都在直线x–y=6的左上方；反过来，直线x–y=6左上方的点的坐标都满足不等式x–y6。Oxyx–y=6结论思考:不等式呢?6yx结论不等式x–y6表示直线x–y=6左上方的平面区域；不等式x–y6表示直线x–y=6右下方的平面区域；直线叫做这两个区域的边界（3）从特殊到一般情况：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）结论一：二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域OxyAx+By+C=0若不等式中可以取等号，则边界应画成实线，否则应画成虚线。4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同，因此只需在直线Ax+By+C=0同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,根据Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域，C≠0时，常把原点作为特殊点直线定界，特殊点定域。结论二C≠0时，常把原点(0,0)作为特殊点;C＝0时，可取其他特殊点。例1：画出不等式x+4y4表示的平面区域x+4y―4=0解：(1)先画直线x+4y–4=0（画成虚线）(2)取原点（0，0），代入x+4y–4，∵0+4×0–4=–40∴原点在x+4y–40表示的平面区域内，不等式x+4y–40表示的区域如图所示。xy14直线定界特殊点定域三、例题示范：课堂练习1:4x―3y-12=0x=1(1)画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域(2)画出不等式x≥1表示的平面区域xy0xy0分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域(3)x-y+5≥0(4)x+y≥0(5)x30xyx-y+5=0-550xyx+y=00xyx=3课堂练习1:Oxyx+y=0x=3x-y+5=0-55思考：画出不等式组表示的平面区域.3005xyxyx注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。y-3x+12x2y的解集。例2、用平面区域表示不等式组0xy3x+y-12=0x-2y=0三、例题示范：课堂练习2：1、不等式x–2y+60表示的区域在直线x–2y+6=0的（）（A）右上方（B）右下方（C）左上方（D）左下方2、不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是（）BD课堂练习2：3、不等式组B02063yxyx表示的平面区域是（）22[例3]要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：钢型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求？规格23[解]：设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,根据题意可得：.0,0,273,182,152yxyxyxyx作出以上不等式组所表示的平面区域:x+2y=18277.515180xy2x+y=15x+3y=27C(4,8)24例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足条件的数学关系式是：xyo4y1018x15y66x0y0x＋＋条件表示的平面区域为图中红色阴影部分含边界。题型五：综合应用解析：由于在异侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值异号，则有（3-2+m）（3-1+m）0所以（m+1）(m+2)0即：-2m-1试确定m的范围，使点（1，2）和（1，1）在3x-y+m=0的异侧。例4、变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？解析：由于在同侧，则（1，2）和（1，1）代入3x-y+m所得数值同号，则有（3-2+m）（3-1+m）＞0所以（m+1）(m+2)＞0即：m-2或m＞-1题型四：综合应用求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积例5、x-y+5≥0y≥20≤x≤22xoy-55DCBAx-y+5=0x=2y=22如图，平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为S=解析：825321题型四：综合应用若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围变式：x-y+5≥0y≥a0≤x≤2变式训练题型四：综合应用若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围变式：x-y+5≥0y≥a0≤x≤22xoy5DCx-y+5=0x=2-5y=ay=ay=ay=5y=77答案:5≤a7295x=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)15Oxy问题1：x有无最大(小)值？问题2：y有无最大(小)值？问题3：z=2x+y有无最大(小)值？在平面区域内思考:不等式组表示的平面区域如下图.4335251xyxyx≤≤≥1、二元一次不等式Ax+By+C0(或0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的判断方法：直线定界，特殊点定域。C≠0时，取原点作特殊点;C＝0时，取其他特殊点。注意:(1)画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。(2)若区域包括边界，则把边界画成实线；若区域不包括边界，则把边界画成虚线。四、小结和作业课后作业P93A组1(1)(3)；2