数列全部解题方法及对应题型归纳

1数列通项公式求法(一)转化为等差与等比1、已知数列{}na满足11a，211nnaa（,nN２≤n≤８），则它的通项公式na什么2.已知{}na是首项为2的数列，并且112nnnnaaaa，则它的通项公式na是什么3.首项为2的数列，并且231nnaa，则它的通项公式na是什么4、已知数列na中，10a，112nnaa，*Nn.求证：11na是等差数列；并求数列na的通项公式；5.已知数列na中，13a，1222nnaan，如果2nnban，求数列na的通项公式2（二）含有nS的递推处理方法1）知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式.2.）若数列na的前n项和nS满足，2(2)8nnaS则，数列na3）若数列na的前n项和nS满足，111,0,4nnnnaSSaa则，数列na4）12323...(1)(2)naaanannn求数列na（三）累加与累乘（1）如果数列na中111,2nnnaaa(2)n求数列na（2）已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式3(3)12+211,2,=32nnnaaaaa,求此数列的通项公式.（4）若数列na的前n项和nS满足，211,2nnSnaa则，数列na（四）一次函数的递推形式1.若数列na满足1111,12nnaaa(2)n，数列na2.若数列na满足1111,22nnnaaa(2)n，数列na（五）分类讨论（1）2123(3),1,7nnaanaa，求数列na（2）1222,(3)1,3nnanaaa，求数列na4（六）求周期16（1）121,41nnnaaaa，求数列2004a（2）如果已知数列11nnnaaa，122,6aa，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{na}满足01a,12nnaa,求数列{an}的通项公式（2）数列{na}满足01a,12nnaan,求数列{an}的通项公式(3).已知数列满足}{na)(,)21(,3*11Nnaaannn,求此数列{an}的通项公式.拓展2综合实例分析1已知数列{an}的前n项和为nS，且对任意自然数n，总有1,0,1nnSpapp（1）求此数列{an}的通项公式(2)如果数列nb中，11222,,nbnqabab，求实数p的取值范围52已知整数列{an}满足31223341...3nnnnaaaaaaaa，求所有可能的na3已知{}na是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)nnnnnanaaan，则它的通项公式na是什么4已知{}na是首项为1的数列，并且134nnnaaa，则它的通项公式na是什么5、数列na和nb中，1,,nnnaba成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列，且11a，21b，设nnnbac，求数列nc的通项公式。6设无穷数列na的前n项和为nS，已知12a，且当nN时，总有1312nnSS，求na及nS．67数列na满足11nnpSa，其中p为正实数，12nSaa…*nanN(1)证明：na为等比数列，并求出它的通项；(2)数列nb中，11b，1nnnbba，求nb的通项公式数列求最值的方法（一）化为函数方法转化为耐克函数（1）如果数列na的通项公式是na=24nnn，此数列的哪一项最小？并求其最小值（2）如果数列na的通项公式是na=2156nn，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为分式函数（3）如果数列na的通项公式是na=15nn，此数列的哪一项最大？并求其最大值转化为二次函数（4）如果数列na的通项公式是na=22nkn是单调递增数列，求k的取值范围。如果该数列在第四项最小，求k的取值范围7（二）数列的简单单调性求最值的方法：如果数列na的通项公式是na=*111.....()12nNnnnn，(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n，不等式12log(1)123naaa恒成立求a的取值范围？（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法（1）数列na的通项公式是na=*1,nnN，是否存在自然数m，使对任意的序号*nN，有nmaa恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由（2）如果数列na的通项公式是na=*9(),10nnN，是否存在自然数m，使对任意的序号*nN，有nmaa恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由（3）如果数列na的通项公式是na=*9(1)(),10nnnN，是否存在自然数m，使对任意的序号*nN，有nmaa恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由8（四）数列单调性求“和”的最值的方法已知数列前n项和为nS，且585,()nnSnanN（1）求na的通项公式（2）求nS的通项公式（3）说说n为何值时，nS取得最小值？数列的求和（一）倒序相加法：（1）设122xfx，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求：87ff…0f…89ff的值（2）01231234....(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC（二）错位相减法求和：135724816…212nn9（三）公式求和法（1）数列na中，148,2aa且*2120nnnaaanN，1234nSaaaa…na，求nS．（2）)(*122221NnbabbababaaSnnnnnnn（3）求和22221234…2n（三）裂项求和法（1）111,,,153759…（2）111133557…（3）)(,32114321132112111*Nnn（4）求数列!nann的前n项和10（四）.分组求和法1.分部分组法（1）1111,2,3,248…（2）1，3＋13，32＋132，……，3n＋13n2.奇偶分组（3）已知654nnnnan为偶数为奇数求数列na的前n项和．3均匀分组（4）1,3,5,7…4.不均匀分组（5）求数列：1111111111,,,,,,,,,,223334444…的前100项和；（6）求数列：1,23,456,78910,…的前n项和．数列的极限5个“三”三个定义极限（1）nlimC=C（C为常数）;（2）nlimn1=0;11（3）nlimqn=0（|q|＜1）三个不存在的极限limnnlim(1)nnlim2nn三个推导极限（1）多项式1*1101110,;...(,,0,0)...0,.limkkkkklllnllalkanananaklNabbbnbnbnblk3543lim2nbnann，则.________________,ba(2)单指数1(1)(1)(1)limnnnrqqq（3）多指数若131lim331nnnna，求a的取值范围三个待定形1）00型比较2213lim12nnnnn和2213lim14nnnnn2）型比较2232lim21nnn和2252lim21nnn3）0+0+0+0+0+0+0+0……型nlim.___________)12131211(2222nnnnn12三个重要条件0(11)limnnqqlimnnq极限存在(11)q1lim1nnaSSq(0||1)q设数列}{na是公比0q的等比数列，nS是它的前n项和，若nlim7nS，那么1a的的取值范围是_________例1已知数列na中，)(2,111Nnaaannn（1）求证数列na不是等比数列，并求该数列的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS；（3）设数列na的前n2项和为nS2，若nnnaSka222)1(3对任意Nn恒成立，求k的最小值.例2定义1x，2x，…，nx的“倒平均数”为nxxxn21（*Nn）．（1）若数列}{na前n项的“倒平均数”为421n，求}{na的通项公式；（2）设数列}{nb满足：当n为奇数时，1nb，当n为偶数时，2nb．若nT为}{nb前n项的倒平均数，求nnTlim；（3）设函数xxxf4)(2，对（1）中的数列}{na，是否存在实数，使得当x时，1)(naxfn对任意*Nn恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．13例3设满足条件)(2:*12NnaaaPnnn的数列组成的集合为A，而满足条件)(2:*12NnaaaQnnn的数列组成的集合为B.（1）判断数列naann21:}{和数列nnnbb21:}{是否为集合A或B中的元素？（2）已知数列3)(knan，研究}{na是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知*231(1)log(,)inaniZnN，若}{na为集合B中的元素，求满足不等式60|2|nan的n的值组成的集合.例4对于数列}{nx，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（Nn）都有nmnxx成立，那么就把这样一类数列}{nx称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列}{nx的最小正周期，以下简称周期.例如当2nx时}{nx是周期为1的周期数列，当sin()2nyn时}{ny是周期为4的周期数列.（1）设数列}{na满足nnnaaa12（Nn），baaa21,（,ab不同时为0），求证：数列}{na是周期为6的周期数列，并求数列}{na的前2012项的和2012S；（2）设数列}{na的前n项和为nS，且2)1(4nnaS.①若0na，试判断数列}{na是否为周期数列，并说明理由；②若01nnaa，试判断数列}{na是否为周期数列，并说明理由；14例5已知数列{}na和{}nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN），将集合**{|,}{|,}nnxxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,ncccc。（1）求1234,,,cccc；（2）求证：在数列{}nc中．但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa；（3）求数列{}nc的通项公式。例6如果有穷数列123maaaa，，，，（m为正整数）满足条件maa1，12maa，…，1aam，即1imiaa（12im，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设nb是7项的“对称数列”，其中1234bbbb，，，是等差数列，且21b，114b．依次写出nb的每一项；（2）设nc是49项的“对称数列”，其中252649ccc，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求nc各项的和S；（3）设nd是100项的“对称数列”，其中5152100ddd，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求nd前n项的和nS(12100)n，，，．15