高中数学 3.2-1《简单的三角恒等变换》课件 新人教A版必修4

LOGO3.2简单的三角恒等变换第一课时3.2简单的三角恒等变换第一课时1.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1，则△ABC是()AA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形由两角和的正弦公式得sinA≥1.由弦函数有界性知，sinA=1，得A=90°.2.化简：-=()B1sin81cos82A.-sin4B.2cos4-sin4C.sin4-2cos4D.2sin4-cos4原式=-=|sin4-cos4|-|cos4|,又sin4-cos40,cos4＜0,所以原式=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4.12sincos422cos423.化简：-cos2x+cos4x=.381218sin4x原式=-(2cos2x-1)+(2cos22x-1)=-cos2x+cos22x=-cos2x+(2cos2x-1)2=1-2cos2x+cos4x=（1-cos2x）2=sin4x.381812341434144.若A-B=,tanA-tanB=,则cosA·cosB=.623334tan(A-B)==,所以1+tanA·tanB=2，即=2，所以cosA·cosB=cos(A-B)=.tantan1tantanABAB33coscossinsincoscosABABAB1234三角变换的基本题型——化简、求值和证明(1)化简.三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值.依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次.(2)求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.①给角求值的关键是正确地分析角（已知角与未知角）之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值.②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值.③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角.(3)证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明.常用方法：从左推到右；从右推到左；左右互推.复习引入1.三角函数的和(差)公式:sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(问题提出1.两角和与差及二倍角的三角函数公式分别是什么？sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtantan1tantan)(tancos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβmcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；2tan1tan22tansin2α＝2sinαcosα讲授新课思考：有什么样的关系？与2答:倍角或半角关系.222cossin,cos,tan.222例1:试以表示22cos12sin()2cos12221cossin()2221costan21cos1cossin()221costan21cos讲解范例：33sin33sin4sin(2)cos34cos3cos变式1、证明:(1)sin1cos2tan21cossin变式、证明22222tan(1)tan21tan2tan(2)sin21tan1tan(3)cos21tan变式3、证明：万能公式用单角的正切表示2倍角的正弦、余弦、正切值思考：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．代数式变换与三角变换有什么不同？2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台.在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式.3.代数式变换与三角变换的区别在于：代数式变换主要是对代数式的结构形式进行变换；三角变换一般先寻找三角式包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行变换，其中有两个变换原理是需要我们了解的.例2求证.2cos2sin2sinsin2;sinsin21cossin1解(1)sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所以从右边着手sin(+)＝sincos+cossinsin(-)＝sincos-cossin两式相加,得sin(+)+sin(-)＝2sincossinsin21cossin探究（一）：异角和积互化原理(2)由(1)可得sin(+)+sin(-)＝2sincos①设+=,-=2,2把,的值代入①,即得.2cos2sin2sinsin例２证明中用到换元思想，①式是积化和差的形式，②式是和差化积的形式；在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．思考在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?例3值的周期，最大值和最小求函数xxycos3sin分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解xxycos3sinxxcos23sin2123sincos3cossin2xx3sin2x所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.例4.?ABCD,,COP.31并求出最大面积的面积最大矩形取何值时当角求记扇形的内接矩形，，，是弧上的动点是扇形的扇形圆心角为是半径为如图，已知ABCDCOPQ分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的最大值.解在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin在Rt△OAD中,360tanOADAsin333333BCDAOAsin33cosOAOBAB设矩形ABCD的面积为S,则BCABSsinsin33cos2sin33cossin2cos1632sin21632cos632sin21632cos212sin23316362sin31,6,262,30时即所以当由于6363-31S最大通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(+)的函数,从而使问题得到简化讲解范例：变式.把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）讲解范例：变式.已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．PQRSO思考3：可分别合成为哪个三角函数？sincos,xx-cos3sinxx+sincos2sin()4xxxp-=-cos3sin2sin()6xxxp+=+思考4：可合成为哪个三角函数？3sin()cos()33xxpp+-+2sin[()]36xpp+-思考5：一般地，可合成为一个什么形式的三角函数？sincosaxbx+22sincossin()axbxabxq+=++tanbaq=其中1．已知向量a＝(cosx－3，sinx)，b＝(cosx，sinx－3)，f(x)＝a·b.(1)若x∈[2π，3π]，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈π2，3π4且f(x)＝－1，求tan2x的值．【解析】(1)f(x)＝a·b＝(cosx－3，sinx)·(cosx,sinx－3)＝1－3(cosx＋sinx)＝1－32sinx＋π4.由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．又∵x∈[2π，3π]，∴函数f(x)的单调递增区间是9π4，3π.(2)由(1)知f(x)＝1－32sinx＋π4＝－1，∴sinx＋π4＝23，∴cos2x＋π4＝1－2sin2x＋π4＝59.∴sin2x＝－59.∵x∈π2，3π4，∴π2x3π2.∴cos2x＝－1－sin22x＝－2149.∴tan2x＝sin2xcos2x＝51428.三角函数的综合问题已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调区间；(3)若x∈，求f(x)的最大值及最小值．0，π2【解析】(1)f(x)＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos2x＋π4，T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π≤2x＋π4≤2kπ，解得kπ－58π≤x≤kπ－π8，函数f(x)的单调增区间为kπ－58π，kπ－18π(k∈Z)．由2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π，解得kπ－18π≤x≤kπ＋38π，函数f(x)的单调减区间为kπ－18π，kπ＋38π(k∈Z)．(3)∵x∈0，π2，∴2x＋π4∈π4，5π4，∴cos2x＋π4∈－1，22.∴f(x)∈[－2，1]．∴当x＝0时，f(x)的最大值为1，当x＝38π时，f(x)的最小值为－2.本小题考查三角函数最值与单调性问题，解决这类问题的关键是解决两个问题，一是利用三角恒等变换将函数解析式转化为y＝2cos2x＋π4，即y＝b＋Acos(ωx＋φ)的形式，二是把2x＋π4视为整体，代入y＝cosx的相应的单调区间，可求最值和单调性．如果对于y＝b＋Asin(ωx＋φ)或y＝b＋Acos(ωx＋φ)类型的函数，当A＞0，ω＜0时，需要先用诱导公式变形为y＝b－Asin(－ωx－φ)或y＝b＋Acos(－ωx－φ)，才能用上述方法，即要用复合函数的单调性去判断，而不能盲目地把ωx＋φ作为一个整体代入．2．已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsinωx＋π2＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求f(x)的对称轴方程；(2)求f(x)的单调递增区间．【解析】(1)f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin2ωx＋π6＋32令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得：ω＝1f(x)＝sin2x＋π6＋32，对称轴方程为2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)即x＝12kπ＋π6(k∈Z)(2)单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)本节内容是灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容，多以解答题的形式呈现，属中、低档题．1．(2009年安徽卷)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω0)，y＝f(x