矿物物理1

矿物物理王长秋课程安排群论基础振动光谱穆斯堡尔谱(是否讲视最后课时情况定)成绩评定：课程结束采取闭卷考试，最后成绩主要依据考试成绩。参考书籍陈丰等，矿物物理学导论，科学出版社，1996A.S.马尔福宁，矿物物理学导论，地质出版社，1984A.S.马尔福宁，矿物谱学、发光和辐射中心，科学出版社，1984徐培苍等，拉曼光谱学及其在地学中的应用。陕西科技出版社，1994R.C.伯恩斯，晶体场理论的矿物学应用，科学出版社，1974李哲等，穆斯堡尔效应及其在矿物学中的应用，科学出版社，1997闻辂等，矿物红外光谱学，重庆大学出版社，1989王裕先，矿物物理学，地质出版社，1985J.F.Counuell,矿物物理及矿物材料研究，科学出版社，1982J.C.Slater,Thequantamtheoryofatomicstructure,1960V.G.法默，矿物的红外光谱学，科学出版社，1982有关量子力学和群论的教科书有关矿物谱学研究的中外文最新论文序言矿物物理学的发展历程矿物物理学的概念及研究对象矿物物理学的研究特点群论基础第一节抽象群论的几个概念第二节对称操作的矩阵表示第三节群的表示理论第四节广义正交定理及特征标正交定理第五节结晶学点群的特征标表第六节可约表示的分解第七节群的直积第八节群论应用举例第一节抽象群论的几个概念一、什么是群？考察一个体系，它存在一组元素，这些元素可以是一些数、矩阵、置换操作或对称操作，如果这些元素由特定的乘法运算彼此联系，而且具备封闭性、结合律、具有单位元素和逆元素等四个性质，则这组元素的集合构成一个群。第一节抽象群论的几个概念封闭性若元素Ai和Aj是群G的任意两个元素，则其“乘积”AiAj必定也是群G的一个元素Ak，即：AiAj=Ak这就是群的封闭性，记为：若Ai,Aj∈G则Ak=AiAj∈G结合律群中元素之间的“乘法”运算满足结合律，即：Ai(AjAk)=(AiAj)Ak=AiAjAk第一节抽象群论的几个概念单位元素任一群G中必有一个元素E，它与群中任一元素相“乘”，都等于被“乘”的哪个元素本身，即：EAi=AiE=AiE就叫单位元素，或恒等元素。逆元素任一群G中的每个元素Ai都有它的逆元素(记作Ai-1，也属于同一群G)，两者相乘等于单位元素，即：AiAi-1=Ai-1Ai=E第一节抽象群论的几个概念总之，一体系中存在的一组元素(A1，A2，…，Ai，…，Aj，…，An)的整体，称为集合。此集合若具备上述四个条件，则构成一个群；记为：G：{A1，A2，…，Ai，…，Aj，…，An}第一节抽象群论的几个概念举例(1)包括数0的全部整数的集合{0，±1，±2，…，±n，…}，对于加法构成一个群。这种对加法构成群的集合，常称为加法群。(2)置换群：这类群在全同粒子的量子力学中很重要。设有n个全同对象的体系，当我们交换其中任意两个或多个对象时，所得到的组态与原来的组态没有区别。我们可以把每一交换看作对体系的一个变换。所有这些可能的变换组成一个群。在此群作用下，体系保持不变，这种群称置换群。对n个对象的体系，共有n!个置换(即排列)，即共有n!个元素。第一节抽象群论的几个概念以三个全同对象的体系为例，以1，2，3分别代表这三个全同对象。13，21，32的置换记作：三个全同对象的可能置换为n!=3!=6，即：分别标志以符号E，A，B，C，D，F。每一种置换作为一个元素，则此置换操作的集合为：{E，A，B，C，D，F}231231332211133221231231233211132231331221第一节抽象群论的几个概念这个集合能否构成群，可由它是否具备群的四点性质加以证明。同理：FCA331221233211133221EBA332211231231133221第一节抽象群论的几个概念(3)结晶学点群：晶体的几何对称变换有三种形式：①平移；②转动、反映和反演；③上述两种操作的组合。让体系一个点保持位置不变(即形式②)的操作所构成的变换群称为点群。转动、反映(或反射)、反演(或倒反)统称为点对称操作，简称对称操作。通过这些操作晶体的宏观对称图象能够复原。第一节抽象群论的几个概念在结晶学点群中，群的元素就是这些点对称操作。群论中结晶学点群的对称操作常用圣弗里斯(Schönflies)符号表示。具体如下：E：恒等操作Cnm：旋转m360/n度的旋转操作C6：旋转60；C62=C3：旋转120C63=C2=C42：旋转180C64=C32：旋转240C65：旋转300C4：旋转90C43：旋转270i：反演操作=iC2：反射操作h：镜面垂直于主轴的反射操作；v：镜面包含主轴的反射操作d：镜面包含主轴、且平分垂直于主轴的两个二次轴所成夹角的反射操作In=iCn：旋转反演操作Sn=Cn：旋转反射操作第一节抽象群论的几个概念结晶学中已经表明，旋转、反射和反演三种操作并不是相互独立的，其中任一种操作可由其余两种操作的适当组合来构成。旋转以后有反射或反演的称为非真转动，以区别与旋转(真转动)。容易证明，两个真转动的“乘积”或两个非真转动的“乘积”都是真转动，而一个真转动与一个非真转动的“乘积”是一个非真转动。点群中可对易的操作：①反演与任何别的操作；②绕同轴的个旋转；③绕两个互垂轴各旋转；④旋转与垂直于转轴的平面上的反射；⑤旋转n角与在含此转轴的平面上的反射；⑥两个互垂平面上的反射。第一节抽象群论的几个概念每一晶体的所有对称操作的集合构成群，这一点容易证明。两元素的“乘积”(AB)表示相继进行两个对称操作，先B后A。点群的封闭性是显然的，因为既然操作A和B单独作用能使晶体复原，那么若先B后A相继进行两次操作也必然使晶体复原，因此，“乘积”(AB)必然是使晶体复原的一个对称操作，因而也必然是属于该点群的一个元素。点群中的单位元素就是恒等操作(或称主操作或无为操作)。逆元素就是一个对称操作的逆操作(如C4与C4-1)。逆操作完全消除原操作的效果，因此互逆操作相继进行的结果等于恒等操作，即A-1A=E群的阶数群中包含的元素的数目称为群的阶数。有限群与无限群32个结晶学点群的国际符号与圣弗里斯符号的对照三斜晶系单斜晶系三方晶系四方晶系六方晶系等轴晶系1C12C23C34C46C623TCimCsS6S4C3hm3Th2/mC2h6/mC4h6/mC6h斜方晶系mm2C2v3mC3v4mmC4v6mmC6vD3dD2dD3hTd222D232D3422D4622D6324OmmmD2h4/mmmD4h6/mmmD6hm3mOh1346m3m2426mm34第一节抽象群论的几个概念二、群的乘法表一个群所包含的元素间的相互联系情况如何，决定于特定的“乘法”关系。对于有限群，可以按“乘法”关系以表格形式列出，该表格称为乘法表，也称Cayley表。由此表直接表示群中任意两个元素相乘的结果，从而集中表现出该群的特性。以C3v点群(复三方单锥)为例该对称图象有六种对称操作，即E=C33：恒等操作；C3、C32：旋转操作；v、v’、v”：通过三次轴的镜面的反映操作。这六种对称操作的集合构成C3v点群，即：C3v：{E，C3、C32，v、v’、v”}第一节抽象群论的几个概念C3v点群的乘法表如下。分析此表可以看出元素之间的关系，了解群的结构。C3v第一操作EC3C32vv’v”第二操作EEC3C32vv’v”C3C3C32Ev”vv’C32C32EC3v’v”vvvv’v”EC3C32v’v’v”vC32EC3v”v”vv’C3C32E第一节抽象群论的几个概念值得注意的是，乘法表的每一行或每一列中，群的每个元素都必须出现一次，而且仅仅出现一次。也就是说，用群中的任一元素遍乘群中所有元素，得到的是同样的元素集合，只是元素排列的次序不同而已。这个结果称为重排定理。前述六阶置换群：G：{E，A，B，C，D，F}。乘法表如下：置换群EABCDFEEABCDFAABEFCDBBEADFCCCDFEABDDFCBEAFFCDABE第一节抽象群论的几个概念三、群的同构与同态1.同构群的乘法表概括了群的全部性质，也包括了关于群的解析结构的全部知识。具有相同乘法表的所有群都有相同的结构，这样的群称为相互同构的群。从数学上说，如果有同阶(n阶)的两个群G={E，A1，A2，…，An}和G’={E’，A1’，A2’，…，An’}，G和G’的元素之间存在一一对应，则这两个群同构。一一对应记作：AiAi’，AjAj’，AkAk’换句话说，存在如下对应的乘法关系：如G中有AiAj=Ak，则G’中对应有Ai’Aj’=Ak’。因此，只要简单地把G的乘法表中G的元素用G’的相应元素代替，即可由G的乘法表得出G’的乘法表。这就是同构。第一节抽象群论的几个概念例如：C3v点群和六阶置换群的同构关系EE，C3A，C32B，vC，v’D，v”F只要把两个群的元素一一对应起来，这两个群的乘法表是完全相同的。例：C3v点群下边的六阶矩阵群是同构的。EC3C32vv’v”例：C3v点群下边的六阶矩阵群是同构的。对于C3v点群：C3v=v”六阶置换群：21232321212323212123232121232321100110012123232141434343434343412123232121232321第一节抽象群论的几个概念矩阵的乘法运算：AB=CA、B为两个矩阵，其乘积AB仍为一矩阵C，但只有A的列数等于B的行数时，此积才能求出。例如：A为3行3列，B为3行2列，起乘法运算为：其积的各元素决定于A、B的相应元素。如C的一元素C12为：A的行数B的列数A的第一行B的第二列简写为：推广到任意行、列的矩阵，乘积矩阵C的元素Cij为：k为A的列数，也就是B的行数，它们是相同的。322212312111322212312111332313322212312111ccccccbbbbbbaaaaaaaaaBA)()(32132212111132221213121112babababbbaaac312112kkkbaCnkkjikijbaC1第一节抽象群论的几个概念2.同态阶数不同的群也可能存在对应的关系，如群G的一个元素与群G’的多个元素相对应，则这两个群必然存在相似的乘法关系，这两个群称为同态群。如：G：{A1，A2，…，An}G’：{A1’，A1’，A1’，A2’，A2’，A2’，…，An’，An’，An’}元素间的对应关系为：Ai(Ai’，Ai’，Ai’)i=l，2，…，n即G’中的三个元素(一般情况下不一定就是3个)与G中的同一元素对应，同时存在对应的乘法关系，即：Ai’Aj’=Ak’，则AiAj=Ak。也就是说，若与Ai、Aj对应的某两个元素相乘等于Ak相对应的某个元素，则Ai与Aj相乘必等于Ak，我们就称G和G’是同态的两个群。第一节抽象群论的几个概念例：实数1，-1组成的二阶群与C3v六阶点群对应关系：G：1-1G’：EC3C32vv’v”两者为同态群，对应乘法关系为：若写成下列对应关系(把{1，-1}写成六阶形式)：G：111-1-1-1