高中数学 不等式课件

AaBbAaBbbaababa-b0aba-b0b=ab-a=0基本不等式注:是比较两个数大小的依据一:不等式的基本性质第一讲不等式和绝对值不等式比较法的基本步骤：1.作差(或作商)2.变形3.定号(与0比较或与1比较).例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=200，所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、ab0，那么anbn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件）nnbaabbacacbba,Rcba,0c0c0dc2,nNn2,nNn（可加性）（可乘性）（乘法法则）（乘方性）（开方性）一:不等式的性质2例cbdadcba求证已知,0,0011,01,0,0,0:cddccdcddccddc证明,0,0,011cadaacd又①②由①②可得cbdacbda,0,0,01,0cbcacba又课堂练习:1.判断下列命题是否正确:(1)cabcba,()(2)bcacba()(3)22bcacba()(4)bdacdcba,()(5)bacbca22()(6)baba22()(7)22baba()(8)22baba()(9)dbcadcba0,0()2．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，比较A，B的大小.×√××√××√×解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=432(22)(1)xxx=32(1)(1)(1)xxxx=3(1)(21)xxx=2(1)(1)(221)xxxx=2211(1)2()022xx∴AB3.若a、b、x、y∈R，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件()()0xyabxaybxaybC5.已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若cab0，则（2）若ab,，则a0，b0。abcacb11ab（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是[-1,20]二:基本不等式22如果a，b∈R，那么a+b≥2ab，当且仅当a=b时等定理1：号成立。aabbb几何解释（基本不等式）a+b如果a，b0，那么≥ab，2当且仅当a=b时等定理2：号成立。三:基本不等式算术平均数几何平均数几何解释OabDabACB两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。注：一正、二定、三等。例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短.定理：设,,xyz都是正数，则有⑴若xyS（定值），则当xy时，xy有最小值2.s⑵若xyp（定值），则当xy时，xy有最大值2.4p例:某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式;(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.QDBCFAEHGPMN解:设AM=y米22200-x从而4xy+x=200y=4x22于是S=4200x+210×4xy+80×2y0x102例2．⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.解⑴(重要不等式法)∵302x,∴0320xx且,∴(32)xx=12(32)2xx≤123222xx=324当且仅当34x时取等号.∴函数(32)yxx的最大值为324,当且仅当34x取得.解:⑵∵3x,∴30x∴2222(9)181826333xxyxxxx=182(3)123xx≥24当且仅当182(3)3xx即6x时取等号.∴函数22(3)3xyxx的最小值为24,且当6x时取得.例2．⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.解：∵1x∴01x011x∴11xx=112111)1(21111xxxx当且仅当111xx即0x时11xx有最小值13、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时11xx有最小值，最小值为几？1.yxx4、求函数的值域解:2121,0)1(xxxxx时当,1,,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx).,2[]2,(y1(3)821xxxx21、求函数y=的最小值；x-3、求函数y=的值域.作业47(3)3aaa3、求证其中三：三个正数的算术—几何平均不等式类比基本不等式得3+a+b+c如果a、b、c∈R，那么≥abc，3当且仅当a=b=c时，等定理3：号成立。，123n123nn123n123n对于n个a,a,a,a正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，a+a+a++a,即≥an当且仅当a=a=a==a时,推广：等号成立.32）若x+y+z=p（定值），p则当x=y=z时,xyz有最大值27,.z3设x,y都是正数，则有1）若xyz=s（定值），则当x=y=z时,x+y+z有定最小值3s理：注：一正、二定、三等。例1:如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ax2解：依题意有v=(a-2x)xa（0x)2211(15)(0)5yxxx例求函数的最值。235252(2)(2),2525120,20,552(2)545[].236752242.515675yxxxxxxxxxxyxxxxmax解：当且仅当，即时，y3max1141514(15)(),4431081.108xxxyxxxy下面的解法对吗？例２:201,(1).xyxx当时求函数的最大值解:,10x,01x.274,32,12maxyxxx时当274)3122(43xxx)1(224)1(2xxxxxy构造三个数相加等于定值.练习：2221614______(1)yxx、函数的最小值是8422(2)(02)yxxx、函数的最大值是A、0B、1C、D、（）27162732D的最小值是则、若yxxyRyx24,,32A、4B、C、6D、非上述答案343B2P1015},2.2bh2b课本第题已知a0,b0,且h=min{a,a求证：222222222222222220,0,2,112,,,220h=min{a,},0h=min{a,},12,.22abababababbabababbaabbbababbhaab证明：即a由于从而h