数列求和(公开课)

数列求和考纲点击1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.能利用等差、等比数列的前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。热点提示1.多以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的前n项和.2.以考查等差、等比数列的前n项和为主，同时考查分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等常用方法.1.等差数列求和公式：2.等比数列求和公式：一、公式法dnnnaaanSnn2121111111111qqqaaqqaqnaSnnn注：对于已知或可化为等差数列、等比数列直接代公式进行求和。数列求和的常用方法3.常见数列的前n项和公式233332222]2)1([321;6)12)(1(321nnnnnnn)12(531nn2642n(n＋1)n2n3212)1(nn题型一、分组转化求和法【思路点拨】先求通项→转化为几个容易求和的数列形式→分别求和→得结论.321816168144122nSn项和的前、、、、、求数列例解：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn12)21(21211])21(1[41)1(nnnnnn)23741()1111(12naaaSnn)231()71()41()11(12naaaSnn解：设将其每一项拆开再重新组合得2)13(1111nnaaSnn当时，1a2)13(11nnaaan＝2)13(nnnSn2)13(nn＝当a＝1时，.7141112nSnaa项和的前、、、变式、求数列数列求和应从通项入手，先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列前n项和的数列来求之．.}{,32}{12,,3}{311nnnnnnnnnTnbabaxyaaaa项的和的前求数列）若（的通项公式；）求数列（上，直线）在已知点（中、数列例题型二、错位相减法1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．2．用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．nnanaaS221变式、求和：【解析】(1)a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2；(2)a≠1时，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan①1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1②由①－②得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋1a3＋…＋1an－nan＋1＝1a(1－1an)1－1a－nan＋1，∴Sn＝a(an－1)－n(a－1)an(a－1)2.综上所述，Sn＝n(n＋1)2(a＝1)a(an－1)－n(a－1)an(a－1)2(a≠1).利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．项和。的前求数列又中，、在数列例nbaabnnnnaannnnnn}{,2,11211}{41【思考】用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？题型三、裂项相消法【提示】裂项相消法的前提是将数列的每一项拆成二项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式有：111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.4nnnnnnn)(11.5nknkknn利用裂项相消法求和时，应注意:①将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．②抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n－1)·(3n＋2)，…的前n项和为()A.n3n＋2B.n6n＋4C.3n6n＋4D.n＋1n＋2课堂诊断B2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于()A．13B．10C．9D．6D3．数列{(－1)n·n}的前2010项的和S2010为()A．－2010B．－1005C．2010D．1005D.}{,)1(3}{2}1{1)0(,,2,02,2}{421121nnnnnnnnnnSnbnabatattNnnaatattaa项和的前求数列）设（的通项公式；）求数列（为等差数列；）求证：数列（为常数，且其中满足：、已知数列1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.2.分组转化法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.反思小结:5.倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，这一求和的方法称为倒序相加法。na4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.祝愿同学们学业有成，前途似锦！