数列求和的几种方法的课件

数列求和日照四中高二备课组四、裂项求和法二、倒序相加法三、错位相减法五、分组求和法一、直接求和法1等差数列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2)Sn=na1+n(n-1)d/22等比数列求和公式：(1)Sn=1-qa1(1-qn)q≠1q≠1(2)Sn=1-qa1-anq当q=1时,Sn=na1练习:求和1.1+2+3+……+n+（n+1）答案:Sn=（n+2)(n+1)/22.2+4+8+……+2n答案:Sn=2n+1-2方法一：直接求和法（公式法）二、倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.例1求数列x,2x2,3x3,…nxn，…的前n项和。解：⑴当x=0时Sn=0⑵当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2⑶当x≠1时Sn=x+2x2+3x3+…+nxn①xSn=x2+2x3+3x4…+(n-1)xn+nxn+1②①－②得：(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1化简得：Sn=x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)0(x=0)综合⑴⑵⑶得Sn=n(n+1)/2(x=1)x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)(x≠1）小结1:“错位相减法”求和,常应用于通项型如{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列.练习1求和:1/2+2/4+3/8+……+n/2n方法:可以将等式两边同时乘以2或1/2,然后利用“错位相减法”求和.四、裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂向求和法.例2：求和Sn=12×5+15×8+18×11+…+1(3n-1)(3n+2)解：∵数列的通项公式为an=1(3n-1)(3n+2)=13(13n-1-13n+2)∴Sn=13(12-15+15-18+18-111+…+13n-4-13n-1+13n-1-13n+2)=13(12-13n+2)=16n+4小结2：本题利用的是“裂项法”，此法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次函数。把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。方法：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？此方法应注意：裂通项11111-nnnn1211212112121nnnn2111121211nnnnnnn五、分组求和法：求和方法称为分组求和法把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一方法叫分组求和法。例3：求和1+(1+12)+(1+12+14)+…+(1+12+14+…+12n-1)解：∵an=1+12+14+…+12n-1=1×（1-12n）1-12=2-12n-1 ∴Sn=(2--120)+(2--121)+(2--122)+…+(2--12n-1)=2n-(120+121+122+…+12n-1)=2n-1×（1-12n）1-12=2n+12n-1–2小结3：本题利用的是“分组求和法”方法：把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。练习3：若数列{an}中，an=-2[n-(-1)n]，求S10和S99．分析：利用分组求和法总结：直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。倒序相加法类比等差数列的求和方法。错位相减法数列{anbn}的求和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。裂项法分组求和法把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和，如{an+bn}。常见求和方法适用范围及方法数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中f(n),g(n)是关于n的一次函数。课外作业：基础训练等比数列的前n项和