2012高考数学一轮复习数列--数列综合题 ppt

77、、数数列列综综合合题题2020年1月26日星期W一．等差数列与等比数列的综合【例1】（2006年福建卷）已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列{bn}滿足12111*444(1)(),nnbbbbnanN证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232nnaaannnaaaN【分析及解】（I）*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列.12.nna即*21().nnanN（II）证法1.12111*444(1)(),nnbbbbnanN12()42.nnbbbnnb122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb③21(1)20.nnnbnb④③－④，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列。证法2.同证法1，得1(1)20nnnbnb令1,n得12.b设22(),bddR下面用数学归纳法证明2(1).nbnd（1）当1,2n时，等式成立。（2）假设当(2)nkk时，2(1),kbkd那么122[2(1)]2[(1)1].1111kkkkbbkdkdkkkk这就是说，当1nk时，等式也成立。根据（1）和（2），可知2(1)nbnd对任何*nN都成立。1,nnnbbdb是等差数列。（III）1121211,1,2,...,,12122(2)2kkkkkkakna12231....2nnaaanaaa11121112122(21)11111.,1,2,...,,23.222232kkkkkkkkaakn122231111123222nnnaaanaaa1111,23223nnn*122311().232nnaaannnaaaN【例2】(2005年·湖北卷·文19)设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，}{nb为等比数列，且.)(,112211baabba（Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式；（Ⅱ）设nnnbac，求数列}{nc的前n项和Tn.【分析及解】（Ⅰ）当;2,111San时,24)1(22,2221nnnSSannnn时当故{an}的通项公式为4,2}{,241daanann公差是即的等差数列.设}{nb的公比为,q则221111,4,.4baabqdbdq故111124nnnbbq，即}{nb的通项公式为12.4nnb（Ⅱ）,4)12(422411nnnnnnnbac1211223113454(21)4,4143454(23)4(21)4nnnnnnTcccnTnn两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321nnnnnnnTnnT【例3】如图,2n个()4n正数排成n行n列方阵,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比都相等,.设124a,8142a,16343a.(Ⅰ)求公比q的值;(Ⅱ)求ka1()1nk的值;(Ⅲ)求nnnaaaaS332211的值.1112131412122232423132333434142434441234,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa【分析及解】(Ⅰ)42434344aaaa,412424344aaa.则,4124442aaq21q.(Ⅱ),1424qaa214a.,31343qaa2313a.则2113141aad.21211311daa.kkak2121)1(211.(Ⅲ)111,2kkkkkaaqk23411111123422222nnSn23411111111231222222nnnSnn两式相减得23411111111,222222211.2nnnnnSnnS【例4】数列}{na满足下列关系式：aaaa,0(;21是常数），;212nnaaaa（Ⅰ）用数学归纳法证明：aan；（Ⅱ）若数列}{nb满足关系式aabnn1.证明数列}{nb是等差数列；（Ⅲ）求nnalim.【分析及解】（Ⅰ）用数学归纳法.当1n时，由aa21得aaaaaaa11,02，即1n时，结论成立.假设kn时结论成立，即，,aak则当1kn时02221kkkkkaaaaaaaaaaaaa∴aak1,即1kn时，结论成立。因此，对所有自然数n，都有naa.（Ⅱ）02111212nnnnnaaaaaaaaaaaaa,aaaaaaaaaaaabnnnnnn11111,即11111nnnbaaaab,abbnn11是一个常数，即数列{nb}是等差数列.（Ⅲ）∵{nb}是等差数列，其通项为anaaanbbn1)1(11)1(11,1)1(1anana,1nabaann,naaan于是aannlim【例5】A是四元实数集合，将A的元素两两相加，得到六个和数从小到大排列构成公差为1的等差数列654321,,,,,xxxxxx，并且2,4,654321xxxxxx成等比数列.求集合A.【分析及解】∵654321,,,,,xxxxxx是以1为公差的等差数列∴6,5,4,3,2,111kkxxk∵2,4,654321xxxxxx成等比数列∴21111114322541xxxxxx2,10211121xxxx或设集合dcbadcbaA其中,,,,，比较和数，得dcdbcbdacaba.若cbda，则113,2,()()4,()()1,adxbcxbdabdacdbdcb11111,21,23,27.2xaxbxcxd若cbda，则112,3,()()4,()()1,adxbcxbdabdacdbdcb11112,22,24,26.2xaxbxcxd把2,11x代入，可得四个结果2,1,0,2,25,21,21,23,27,25,23,21,4,2,1,0A【例6】已知数列{an}的前n项和1nnSka0,knN(Ⅰ)用n、k表示na．(Ⅱ)数列nb对任意正整数n，均有121lgnnbba+23lgnnbba+15lg0nnbba求证：数列nb为等差数列．(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)中，设1,1nkbn，1nniiixab求证：3.nx【分析及解】(Ⅰ)∵11111,1,,1nnSkaakaak又11nnnnnaSSkaka，∴11nnakak（n≥2），11*1().11(1)nnnnkkankkkN(Ⅱ)设数列na的公比为q，则条件等式可化为：,0lg)2(21qbbbnnn121,2,nnnqbbb所以数列na是等差数列.(Ⅲ)由题意知nnnnba21,,2124232232nnnx①①×21得，231123122222nnnnnx，②①－②得，.21212121121132nnnnx∴12111112.2222nnnnxnnnnn2332121121-）（＜3.二．数列与函数的综合【例1】（2006年安徽卷）数列na的前n项和为nS，已知211,1,1,2,2nnaSnannn（Ⅰ）写出nS与1nS的递推关系式2n，并求nS关于n的表达式；（Ⅱ）设1/,nnnnnSfxxbfppnR,求数列nb的前n项和nT.【分析及解】（Ⅰ）由21nnSnann2n得：21()1nnnSnSSnn，即221(1)1nnnSnSnn，所以1111nnnnSSnn，对2n成立。由1111nnnnSSnn,121112nnnnSSnn,,2132121SS.相加得：1121nnSSnn，又1112Sa，所以21nnSn，当1n时，也成立。（Ⅱ）由111nnnnSnfxxxnn，得/nnnbfpnp。而23123(1)nnnTpppnpnp，234123(1)nnnpTpppnpnp，23111(1)(1)1nnnnnnppPTpppppnpnpp121221(1)111nnnnnpnpnpppnpTppp【例2】(2004年·天津卷·21)已知定义在R上的函数)(xf和数列}{na满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,aanafaaann，)...,4,3,2)(()()(11naakafafnnnn，其中a为常数，k为非零常数.（Ⅰ）令nnnaab1(*)nN，证明数列}{nb是等比数列；（Ⅱ）求数列}{na的通项公式；（Ⅲ）当1||k时，求nnalim.【分析及解】（Ⅰ）由0121aab，可得0)()()(1212232aakafafaab.由数学归纳法可证01nnnaab(*)nN.由题设条件，当2n时111nnnnnnaaaabb11)()(nnnnaaafafkaaaaknnnn11)(因此，数列}{nb是一个公比为k的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，11121()(*)nnnbkbkaanN当1k时，)2(11)(...112121nkkaabbbnn当1k时，))(1(...12121aanbbbn)2(n.112312121)(...)()(...aaaaaaaabbbnnnn所以，当1k时,kkaaaann11)(1121)2(n.上式对1n也成立。所以，数列}{na的通项公式为11(())(*)1nnkaafaankN当1k时,))(1(121aanaan)2(