人教版高中数学必修4课件：1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》(第2课时)

1.4.1正弦函数的图象与性质第二课时本节课是在必修一学习的内容的基础上研究三角函数的周期性和判断三角函数的单调性.要注意两点：1.函数的周期定义中是对定义域中的每一个x值来说，对于个别的x满足f(x＋T)＝f(x)，并不能说T是f(x)的周期．例如：既使sin(x＋T)＝sin(x)成立，也不能说T是f(x)＝sinx的周期．2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断f(－x)与f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期．3．掌握函数y＝sinx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．定义单位圆中一般地图象sincostanOP(x,y)xyA(1,0)αOxyP(x,y)y||(0)OPrryrxxryxyx温故知新。。x6yo--12345-2-3-41余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同正弦和余弦函数的图像(2)物理中的单摆振动，表针的运动规律如何呢？(1)今天是星期一，则过了七天是星期几?过了十四天呢？……周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．证明：∵sin(x＋2π)＝sinx，由周期函数的定义证明：函数y＝sinx是周期函数．∴y＝sinx是周期函数，且2π就是它的一个周期．同理可得：y＝cosx是周期函数，且2π就是它的一个周期．y＝tanx是周期函数，且π就是它的一个周期．最小正周期如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的最小正周期都是，它们的所有周期可以表示为：．(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符合上述特征的一个周期函数：.2π2kπ(k∈Z且k≠0)f(x)＝C(C为常数)，x∈R证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期的过程．请你补充完整．证明：由于2π是y＝sinx的一个周期，设T也是正弦函数y＝sinx的一个周期，且，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有.令x＝π2，代入上式，得sinπ2＋T＝sinπ2＝1，又sinπ2＋T＝，所以.另一方面，当T∈(0,2π)时，，这与矛盾．故2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期．0T2πsin(x＋T)＝sinxcosTcosT＝1cosT1cosT＝1函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期证明2π|ω|是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．证明：由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以Asinωx＋2πω＋φ＝Asin(ωx＋φ)，即fx＋2πω＝f(x)，所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x至少要增加2π|ω|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．例1求下列函数的周期．(1)y＝sin2x＋π3(x∈R)；(2)y＝|sin2x|(x∈R)．解(1)方法一令z＝2x＋π3，∵x∈R，∴z∈R，函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的周期是π.方法二f(x)＝sin2x＋π3的周期为2π2＝π.(2)作出y＝|sin2x|的图象．由图象可知，y＝|sin2x|的周期为π2.小结对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝2π|ω|来求解，对于y＝|Asinωx|的周期情况常结合图象法来求解．例1求下列函数的周期．(1)y＝sin2x＋π3(x∈R)；(2)y＝|sin2x|(x∈R)．练习1.求下列函数的周期．(1)y＝cos32π－23x；(2)y＝sin－12x＋π3.解(1)y＝－sin23x，T＝2π23＝3π.(2)y＝sin12x－π3，T＝2π12×12＝2π.例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．解∵f(x)的最小正周期是π，∴f5π3＝f5π3－2π＝f－π3.∵f(x)是R上的偶函数，∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.∴f5π3＝32.小结解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．练习若f(x)是以π2为周期的奇函数，且fπ3＝1，求f－5π6的值．解f－5π6＝f－5π6＋π2＝f－π3＝－fπ3＝－1.1.满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．解：∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x＋2a)＝f(x)．∴函数y＝f(x)是周期函数，且2a就是它的一个周期．能力拓展2.满足条件：f(x＋a)＝－1fx(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．解：∵f(x＋a)＝－1fx，∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－1fx+a＝－1－1fx＝f(x)．∴f(x＋2a)＝f(x)．∴函数y＝f(x)是周期函数，且2a就是它的一个周期．能力拓展xxsin)sin(xxcos)cos()R(sinxxy)R(cosxxy奇函数偶函数是定义域关前提：于原点对称正弦、余弦函数的奇偶性x6yo--12345-2-3-41x6yo--12345-2-3-41例3.判断下列函数的奇偶性(1)()2sin2fxx(2)()sin1fxx例4判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin－12x＋π2；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.解(1)显然x∈R，f(x)＝cos12x，f(－x)＝cos－12x＝cos12x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)由1－sinx01＋sinx0，得－1sinx1.解得定义域为x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.∴f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．例4判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin－12x＋π2；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.(3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－π2，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．小结判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．例4判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sin－12x＋π2；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.练习判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝cos32π＋2x＋x2sinx；(2)f(x)＝1－2sinx＋2sinx－1.解(1)f(x)＝sin2x＋x2sinx，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由1－2sinx≥02sinx－1≥0，得sinx＝12.∴函数f(x)的定义域为{x|x＝2kπ＋π6或x＝2kπ＋56π，k∈Z}．∵f(x)的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．1．函数y＝sin(πx＋23π)的周期是()A．2πB．πC．2D．1解析T＝2ππ＝2.C2．下列函数中，周期为π的偶函数是()A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝|sin2x|D．y＝1－cos2x解析y＝1－cos2x＝sin2x＝|sinx|符合题意．D3．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝1－sinx1＋sinx.解(1)函数的定义域为R，关于原点对称．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)函数应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)的值．解∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x)．∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sinx|.(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω0，x∈R)的周期T＝2πω.2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．敬请指导.