高中数学思想----分类讨论思想

第1页共12页分类讨论思想[思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·山东)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0,1]C.23，＋∞D．[1,＋∞)答案C解析由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a1时，有3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a1.第2页共12页当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，故选C.2．(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1e2B．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C．对任意的a，b，e1e2D．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2答案D解析由题意e1＝a2＋b2a2＝1＋ba2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，离心率e2＝a＋m2＋b＋m2a＋m2＝1＋b＋ma＋m2.因为b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m，且a0，b0，m0，a≠b，所以当ab时，ma－baa＋m0，即b＋ma＋mba.又b＋ma＋m0，ba0，所以由不等式的性质依次可得b＋ma＋m2ba2，1＋b＋ma＋m21＋ba2，所以1＋b＋ma＋m21＋ba2，即e2e1；同理，当ab时，ma－baa＋m0，可推得e2e1.综上，当ab时，e1e2；当ab时，e1e2.3．(2015·天津)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．第3页共12页解(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得点M的坐标为c，233c.由|FM|＝c＋c2＋233c－02＝433.解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)．与椭圆方程联立，y＝tx＋1，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝6－2x23x＋12＞2，解得－32＜x＜－1或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝2x2－23，得m∈23，233.②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)＞0，第4页共12页因此m＜0，于是m＝－2x2－23，得m∈－∞，－233.综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.高考必会题型题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1.(2)当BA时，又可分为两种情况．①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，当x＝0时，有a＝±1；当x＝－4时，有a＝7或a＝1.又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；②当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a≤－1或a＝1.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B＝∅和B≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素．变式训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是()A．等差数列B．等比数列C．等差数列或等比数列D．以上都不对答案D解析∵Sn＝pn－1，第5页共12页∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．题型二分类讨论在含参函数中的应用例2已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值．解函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝1±52(舍)．(3)当a1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值．变式训练2已知函数f(x)＝2ex－ax－2(x∈R，a∈R)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝2ex－x－2，f′(x)＝2ex－1，f′(1)＝2e－1，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率k＝2e－1，又f(1)＝2e－3，所以所求的切线方程是y＝(2e－1)x－2.(2)易知f′(x)＝2ex－a.若a≤0，则f′(x)0恒成立，f(x)在R上单调递增；若a0，则当x∈(－∞，lna2)时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x∈(lna2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．又f(0)＝0，所以若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．若a0，则当lna2≤0，第6页共12页即0a≤2时，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．当lna20，即a2，则当x∈(0，lna2)时，f(x)单调递减，f(x)f(0)＝0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．题型三根据图形位置或形状分类讨论例3在约束条件x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是()A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]答案D解析由x＋y＝s，y＋2x＝4⇒x＝4－s，y＝2s－4，取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．①当3≤s4时，可行域是四边形OABC(含边界)，如图(1)所示，此时，7≤zmax8.②当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图(2)所示，zmax＝8.综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3设点F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，第7页共12页F2是一个直角三角形的三个顶点，且||PF1＞||PF2，求||PF1||PF2的值．解若∠PF2F1＝90°，则||PF12＝|PF2|2＋||F1F22，又∵||PF1＋||PF2＝6，||F1F2＝25，解得||PF1＝143，||PF2＝43，∴||PF1||PF2＝72.若∠F1PF2＝90°，则||F1F22＝||PF12＋||PF22，∴||PF12＋(6－||PF1)2＝20，又|PF1||PF2|，∴||PF1＝4，||PF2＝2，∴||PF1||PF2＝2.综上知，||PF1||PF2＝72或2.高考题型精练1．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D.0，12答案D解析方程|ax－1|＝2a(a0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0a1时，如图(1)，∴02a1，即0a12.②当a1时，如图(2)，而y＝2a1不符合要求．综上，0a12.2．x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.12或－1B．2或12第8页共12页C．2或1D．2或－1答案D解析如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.3．抛物线y2＝4px(p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为()A．2B．3C．4D．6答案C解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO