任意阶幻方构造方法

任意阶幻方构造方法幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。816357492n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……)(n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。这里，n*n+1=4*4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。下面是8阶幻方的作法：(1)先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364(2)每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。642361606757955541213515016174746202143422440262737363031333234352928383925412322444519184849151452531110568585954626313、单偶阶幻方n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……)(n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。以n=10为例。这时，k=2(1)把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。ABCD172418156774515865235714167355576466461320225456637072101219213606269715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293138454785879496783537444628869310077843643502734(2)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。172418156774515865235714167355576466461320225456637072101219213606269715311182529616875525992997683904249263340988082899148303239417981889597293138454785879496783537444628869310077843643502734(3)将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。929918156774515865988071416735557646646889522545663707285871921360626971538693252961687552591724768390424926334023582899148303239417981132097293138454710129496783537444628111810077843643502734(4)在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)929918156774515865988071416735557646646889522545663707285871921360626971538693252961687552591724768390424926334023582899148303239417981132097293138454710129496783537444628111810077843643502734(5)将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。929918156774265865988071416735532646646889522545638707285871921360624471538693252961685052591724768390424951334023582899148305739417981132097293163454710129496783537694628111810077843643752734