数学分析实数与数列极限-1-3

2008／10／06§1.3收敛数列的性质1.唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义知,使得,,,021NN;,1axNnn恒有时当;,2bxNnn恒有时当一、收敛数列的性质,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.2.有界性定义:对数列{nx},若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列{nx}有界,否则,称为无界.例如,};1{nn数列}.2{n数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界相应的,可以给出有上界和有下界的定义定理2收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1.)1(1是发散的证明数列nnx证,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..)1(1发散所以数列nnx3.子列极限一致性定义：在数列中任意抽取无限多项并保持}{nx这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{nx的子数列，简称子列.}{knx记为一子数列也收敛于}{nx定理3如果数列收敛于a,那么它的任.a,NK取,时则当Kk.NnnnNKk,|axkn于是｜证,}{}{的任一子列是数列设nnxxk,limaxnn由总有时使得当,Nn.||成立axn,N0,*N故对.limaxknn证得数列是发散的，通常利用此定理来证明是发散的数列}{sinn)14(P.)1(1是发散的数列比如：nnx4.不等式性质P20证明见;;,,,lim14onnnnaanaaa充分大时有那么当满足设：定理;,,lim,lim2nnnnnnobanbabbaa充分大时有那么当且设.,,lim,lim3babanbbaannnnnno那么有有充分大时且当设定理5.0,lim)3(;][lim)2(;][lim)1(,lim,limbbababababababbaannnnnnnnnnnnn其中则设证二、极限的四则运算;)1(绝对值的三角形不等式;,,)2(绝对值不等式添加项收敛数列的有界性bbbnn11lim,0)3(时先证,.,,0112||时当对于NntsNb2||||bbbn.02||||bbn且此时,1时所以当Nn.||22bbbn|||||11|bbbbbbnnn.11lim,bbnn即证得.)2(易见结论成立再由.||2|11|2bbbbbnn.,0,,lim2tsNbbnn对由于.2||,22bbbNnn有时当便有时因此当,},max{21NNn说明：有+无=无，无+无=不定；;,不定无无不定无有.推广到有限项例2:145432lim22nnnnn22145432limnnnnn221lim4lim5lim4lim3lim2limnnnnnnnnnn52例3:)...1(lim12nnqqqqqqnnn1lim11limnnqqqlim1111.11qqqnn11lim.)...1(lim,1||12nnqqqq计算极限设:解三、无穷小:定义.,,0}{简称无穷小数列称为无穷小列那么这个的极限为如果收敛数列na:6定理;}||{}{1为无穷小为无穷小的充要条件是nnoaa;)(2仍是无穷小或差两个无穷小之和o;}{,}{,}{3为无穷小那么为有界数列为无穷小设nnnnoacca;}{,}{,N,04*也是无穷小那么为无穷小如果设nnnnoabnba.}{lim5为无穷小的充要条件是aaaannno....lim,lim:421anaaaaannnn求证已知例分析：anaaann...lim210)()()(lim21naaaaaann.0lim21nnn则0)(limlimaaaannnn,aann令,0limnn若证明：,aann令,0limnn若.0lim21nnn则:则待证结果转化为,0limnn由0,对.2,nNn时当,N*N使得所以2)(||21nNnnNnnN212||21nN,0lim21nNn而,,N1*1NNN所以,1时使得当Nn,2||21nN,2221nn故......所以四、夹逼准则(两边夹法则)定理7如果数列}{},{nnyx及}{nz满足条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列{nx}的极限存在,且axnnlim.证,,azaynn使得,0,0,021NN,1ayNnn时恒有当},,max{21NNN取恒有时当,Nn,ayan即,2azNnn时恒有当,azan上两式同时成立,,azxyannn,成立即axn.limaxnn例5).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn1lim:0,61naan求证设例nnnaana111,1,:我们有时当先设证明,1lim1nnn由于知由夹逼定理,.11lim1成立对aann于是这时再设,1),1,0(1aa.1111lim1lim11nnaann)13(lim:7nnn求极限例nnnnnn434134)13(0:我们有不等式解0.)13(lim,}4{nnnn所以是无穷小因为例８.kaaa210设则knnknnnaaaa21lim证明：knnknnknnnnkkakaaaaaa21由夹逼定理，knnknnnaaaa21lim五、小结收敛数列的性质有界性、唯一性、子列极限一致性、不等式性质极限的四则运算无穷小夹逼准则(两边夹法则)作业(习题集)习题1-3A：2；3（偶数）；5；6；8；9.