31线性系统输出及概率分布

1第三章系统对随机信号的响应对于随机信号输入的问题的分析方法是：如何根据线性系统输入随机信号的统计特性，来确定该系统输出响应的统计特性。23.1线性系统的响应dthxthtxtytx)()()()()(:,)(分得到则系统的输出由卷积积是线性系统的输入设kknhkxnhnxny)()()()()(:,系为其输出与输入之间的关统对于离散时不变线性系3dtxhdthxthtxtytxtX)()()()()()()(:).(),(则取其一个样本函数机过程如果系统输入是一个随)()()()()()()(:)(,),(tXthdthXdtXhtYtXtx的输出为那么对应输入随机过程收敛义下上面的积分都在均方意如果对于每个样本函数也是一随机过程)(tY)()()()()()()(:,,nhnXmnhmXmnXmhnYmm即积和系统的输出为二者的卷是离散的如果输入信号和系统都都是随机序列和)()(nYnX4nmmtmnhmXmnXmhnYdthXdtXhtYnhntht)()()()()()()()()()(:.,0)(,00)(,0,00对于物理可实现系统有可实现系统就称为因果系统或物理那么系统时或当时当如果系统满足3.2.1输出的概率分布一、输入为高斯过程为有限项之和nmmnhmXnY0)()()(输入为高斯序列，则输出也一定是高斯序列。这个结论同样适用于连续时间系统。3.2线性系统输出的统计特性5二、输入为非高斯过程若线性系统的输入不是高斯过程，输出随机过程的分布根据输入随机过程的功率谱宽度与系统带宽之间的关系，可有不同的近似结果。当输入随机过程的功率谱宽度远远大于系统带宽时，输出随机过程服从高斯分布。.,7,斯分布为输出随机过程接近高就认满足和系统带宽宽度谱若输入随机过程的功率在一般的工程应用中HXHXffff6当输入随机过程的功率谱宽度远远小于系统带宽时，则可认为输入随机过程通过系统后失真很小，因此其输出随机过程的概率分布接近输入随机过程的概率分布。当输入随机过程的功率谱密度与系统带宽接近时，可用高阶累积量确定输出随机过程的分布。利用高阶累积量来判断输出是否为高斯过程。7)()()()(tmthdtmhXX3.2.2系统输出的数学期望及自相关函数已知输入随机信号的均值，求系统输出的均值：dtXEhdtXhEtYEtmY)]([)(])()([)]([)().(,)()(tmthtmYX则其输出端就是连续系统的输入端的为加到一个单位冲激响应若把)(th)(tmX)(tmY8mXXYmnmmhnmnhnm)()()()()(:机序列这个结论也可推广到随如果输入为平稳过程或平稳序列，其数学期望为mXYXXYmdhmdmhtm)()()(YmXmXYmmhmmmhnm)()()(0)()]([dhmtYEmXY0)()]([mXYmhmnYEm对于物理可实现系统，即因果系统，上式可写成：9.,,,变化是否会使输出均值发生的大小问改变电阻均值不为零若输入平稳随机信号的电路如图所示RdhmmmmXYYX)(.,则输出均值为值为均设输入平稳随机信号的LRsLRRsLRsXsYsH)()()()()(tueLRthtLRXLRXYmdeLRmm0改变电阻R的大小不会使输出均值发生变化10.,2),()(3试求系统输出的均值的直流分量之和白噪声与其输入是响应设线性系统的单位冲激VtutethtdtmhthtmtmXXY)()()()()(VmX292)31(32]3131[22)(2030303033edeededuemYVmY92dhmmXY)(11.,9)(2)()],1()()[1()(试求系统输出的均值自相关函数其输入平稳随机信号的应线性系统的单位冲激响XRtututthdhmmXY)(39)(2XXXmRm23)21(3)1(3)]1()([)1(310210dduumY23YmdtmhthtmtmXXY)()()()()(1221212211)()(),(ddhhttRX)()(),(2121ththttRX])()()()([21212211ddhhtXtXE21122112])(),()[(ddhttRhX212212)](),([)(dthttRhX输出自相关函数等于输入自相关函数与系统冲激响应的二次卷积。模拟系统])()()()([)]()([),(222211112121dtXhdtXhEtYtYEttRY13)()(),(2121nhnhnnRXijXYjhihjninRnnR)()(),(),(2121对于离散系统，也可得出：输出自相关函数为输入自相关函数与系统单位样值响应的二次卷积和。)()(),(),(212121ththttRttRXY21212211)()(),(ddhhttRX14212121)()()(ddhhRX212121)()(),(),(ddhhttRttRXY)()()(hhRX)(),(,)(XXRttRtX为平稳过程时当输入的随机过程)()(),(),(212121ththttRttRXY21212211)()(),(ddhhttRX122211])()()[(ddhRhX1111])()()[(dhRhX)(YR输出过程Y(t)也是平稳过程15)(mRY)()()(mhmhmRXijXYjhihjimRmnnR)()()(),()()(),(),(212121nhnhnnRnnRXYijXjhihjninR)()(),(21)(),(,)(mRmnnRnXXX为平稳序列时当输入的随机序列输出序列Y(n)也是平稳序列各态历经性也是如此16)()()()(mhmhmRmRXYijXjhihjimR)()()(212121)()()(ddhhRX)()()()(hhRRXY02121021)()()()0(,ddhhRRXY率为输出平稳过程的平均功对于物理可实现系统00)()()()0(,ijXYjhihjiRR率为输出平稳序列的平均功对于物理可实现系统17;)()1(,),(2)(),(32.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNNRCsRCsCRsCsNsYsH1111)()()(RCteeRCthttRC1:)0(1)(1令)()()()(hhRRXY180220)(0)(2)()(2)(dueeNdueueNRY)0()(tetht)()()(2)()()()(0hhNhhRRNY)()(20hhNdhhN)()(20;)()1(,),(2)(),(1.2.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNN;)()1(,),(2)(),(32.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNN19;)()1(,),(2)(),(1.2.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNN0220)(2)(dueeNRYeNdeeNRY42)(,000220时当eNdeeNRY42)(,00220时当eN40;)()1(,),(2)(),(32.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNN20eNRY4)(04)0(02NRYY)(YR;)()1(,),(2)(),(1.2.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNN;)()1(,),(2)(),(32.30的自相关函数和方差求输出电压如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例tYRCNRtNN21.50,,/104)2(,),(2)(),(32.3600mVRCTHzWNRCNRtNN使输出的均方差不超过数确定系统的最小时间常时当如图积分电路系统为简单的其自相关函数声过程已知系统的输入为白噪例TNTRCY411:)2(022020)05.0(4)05.0(405.050NTTNVmVY标准差402NY)(4.0)(10410254104)05.0(444620minmssNT223.2.3系统输入与输出的互相关函数),(,)(),(21ttRtYtXXY为它们之间的互相关函数是一个随机过程也而输出随机过程如果线性系统的输入是)]()()([)]()([),(2212121thtXtXEtYtXEttRXY])()()([21dtXhtXEdhttRX)(),(21dhttRthttRttRXXXY)(),()(),(),(2122121dhttRthttRttRXXYX)(),()(),(),(211212123dhRX)()(dhttRttRtYtXXXY)(),(),(:)(,)(也是平稳过程的则输出平稳若输入)()()(XYXRhRdhttRthttRttRXXXY)(),()(),(),(2122121联合平稳与)()(tYtXdhttRthttRttRXXYX)(),()(),(),(2112121dhRdhttRttRXXYX)()()(),(),()()()(YXXRhR24dhRhRRXYXYY)()()()()()()(),(),(212121ththttRttRXY21212211)()(),(ddhhttRX