经济高数实验课三

经济类高等数学实验课理学院·数学系第三讲一、实验目的•熟练掌握用Mathematica软件计算一元函数不定积分、定积分以及无穷限积分、数值积分的方法；•理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分在计算平面图形面积和旋转体体积的应用；•掌握偏导数、全微分的计算方法；•掌握重积分的计算方法。二、实验内容1．用Mathematica软件计算积分（1）用Mathematica软件计算不定积分，其基本形式是Integrate[f[x],x]（其中f[x]是一元函数，x是积分变量，其输出结果中积分常数C常被省略。）例计算输入：Integrate[x*Sin[x],x]Integrate[x^2(1-x^3)^5,x]sinxxdx235(1)xxdx（2）用Mathematica软件计算定积分计算定积分的命令也是Integrate，其基本形式Integrate[f[x],{x,a,b}]（计算定积分与计算不定积分的区别是：在积分变量的后面输入积分变量的下限a和上限b。）例计算定积分输入Integrate[x-x^2,{x,0,1}]120()xxdx（3）用Mathematica软件计算无穷限积分Mathematica软件计算无穷限广义积分，其输入形式与定积分相同。例输入Integrate[1/(x^2+2x+2),{x,-Infinity,Infinity}]（Mathematica软件会判断出其是否收敛，若收敛则返回结果。）2122dxxx（4）运用Mathematica软件计算数值积分其形式为NIntegrate[f[x],{x,a,b}]例用Mathematica软件计算定积分输入NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]输出为0.746824210xedx2．定积分应用（1）直角坐标系下平面图形面积的计算例计算由抛物线和直线所围图形的面积。解首先画出平面图形输入Plot[{Sqrt[2x],-Sqrt[2x],x-4},{x,0,9}]输出为22yx2468-4-2244yx求曲线交点求解形式如下Solve[{方程1，方程2，….}，{变量1，变量2，…}]本例中输入Solve[{y^2-2x==0,y-x+4==0},{x,y}]输出为{{x-2,y--2},{x-8,y-4}}最后以y为积分变量求面积，输入Integrate[y+4-y^2/2,{y,-2,4}]输出结果为18，即所求平面图形的面积为18。3．偏导数、全微分的计算方法（1）多元函数求偏导数的基本命令为：D[f[x1，x2，……，xn]，xi]表示求函数f对xi的偏导；D[f[x1，x2，……，xn]，{xi，n}]表示求函数f对xi的n阶偏导；D[f[x1，x2，……，xn]，{x1，n1}，{x2，n2}，……]表示求函数f依次对x1，x2，……的混合高阶偏导。例已知，求，，，。解输入D[Sqrt[2x^2+5y],x]D[Sqrt[2x^2+5y],y]/.{x-1,y-1}D[Sqrt[2x^2+5y],{x,2}]D[Sqrt[2x^2+5y],x,y]输出依为，，，。2(,)25fxyxyfx11xyfy22fx2fxy2225xxy52723222422525xxyxy3225(25)xxy（2）多元函数求微分的命令为：Dt[f[x1，x2，…]]表示计算多元函数f[x1，x2，…]的微分df。例求函数的微分。解输入Dt[x^2y+x/y^2]输出为（注：结果中的Dt[x]，Dt[y]表示微分dx，dy。）22xzxyy223[]2[]2[][]DtxxDtyxyDtxxDtyyy4．二重积分的计算方法（1）计算累次积分的Mathematica基本命令为：Integrate[f[x，y]，{x，x1，x2}，{y，y1，y2}]例求。解输入Integrate[x^2y,{x,1,4},{y,0,Log[x]}]输出为4ln210xdxxydy12132[4]2[64]9LogLog（2）二重积分的计算方法例计算，其中为曲线，所围区域。解画出积分区域的图形输入Plot[{x^2,Sqrt[x]},{x,0,2},PlotRange-{-1,2},AspectRatio-1]输出xyd2yx2xy0.511.52-1-0.50.511.52化二重积分为累次积分，输入Integrate[x*y,{x,0,1},{y,x^2,Sqrt[x]}]输出为112Yourwork（i）完成本次实验报告（ii）实验习题三中的作业题