第一章 期望效用函数理论

ECJTUxulong资本资产定价的原理与模型ECJTUxulong第一章期望效用函数理论n1.11.1.1BnRBxBxxxyBxyyxxyzBxyyzxz≥∈≥∈≥≥∈≥≥≥序数效用函数偏好关系设是维欧氏空间中的凸集，在中引入一个二元关系记为“”，如果它具有（1）反身性：若，则；（2）可比较性：若，，则或；（3）传递性：若，，，则，，则。ECJTUxulong()[)[){}()()()()211222212121211221.1.2,0,,0,,,,,BxyxyxyBxyBxxxxyyxyxy=∈∞∈∞∈∈=≥字典序设在凸集中，若，，如果或，≥，则定义。()()1.1.3,BUBRxyBUxUyxyU+≥→∈效用函数设是具有偏好关系“”的选择集，：的单值函数，如果，≥当且仅当，则称为效用函数。ECJTUxulong[]()(),,,,0,1,11xyBxyxyxyαβααββαβ∈∈+−+−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦性质1（序保持性）对任意及当且仅当()(),,,,1xyzBxyzxzyααα∈∈+−∼性质2（中值性）对任意那么存在唯一的0,1使,,xyBzBxzy∗∗∗∗∈∈≤≤性质3（有界性）存在使对任意，有1.1.4偏好关系的三条重要性质ECJTUxulong()()()()1.1.5BUBRxyUxUyxyUxUy+≥→=∼∼序数效用函数存在定理定理1.1设选择集上的偏好关系“”具有1.1.4节中的性质1性质3，则存在效用函数：使得（1）当且仅当；（2）当且仅当。ECJTUxulongip≥0，()()12121121.21.2.1,,,,,1,,,nnniiiinXxxxPppppixpPppp====∑期望效用函数彩票及其运算假定随机变量有n个结果其概率分布用向量表示为是第个结果出现的概率，其中。称为彩票。ECJTUxulong()()()()()11221111nnPQpqpqpqαααααααα⊕−=+−+−+−…，，，()()[]1212,,,,,,nnBPpppBQqqqBα=∈=∈∈设是所有彩票构成的集合，，，0,1，定义[]()[]()[]()()[]()()()()()()1231331221312131211,011,,111111PQBPQBPQBPPPPPPPQBPQQPPQBPQPQPαααααααααααααααααααααααααααα∈∈⊕−∈∈∈⊕−=⊕=∈∈⊕−=−⊕∈∈⊕−⊕−⊕−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡=+−⊕−−−⎡⎤⎣⎦⎣按定义可证明：（1）设，，0,1，则；（2）设，，0,1，则；（3）设，，0,1，则；（4）设，，0,1，则Q⎤⎦ECJTUxulong1231223131.2.2,,,BPBPPPQBPQQPPPPBPPPPPP≥∈≥∈≥≥∈≥≥≥彩票集合上的偏好关系设中元素定义满足如下条件的偏好关系具有（1）返身性：任意，有；（2）可比较性：任意，则或；（3）传递性：任意，如果，，则；[]()()[]()123123213,,,11,,,1,PQBPQPQPQPPPBPPPPPPPQBPBPPQαβααββαβααα∗∗∗∗∈∈⊕⊕⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∈∈⊕⎡⎤⎣⎦∈∈≥≥∼性质1：对任意，设0,1，则－－的充要条件性质2：对任意，则存在唯一0,1，使－性质3：设存在，对任意，有。ECJTUxulong()()()()[]()()()()()13,,11BUBRPQUxUyPQUxUyPQBUPQUPUQβββββ≥→=∈∈⊕=⊕∼∼1.2.3基数效用函数存在定理定理1.2设具有性质性质的偏好关系“”，则存在效用函数：满足：（1）当且仅当；（2）当且仅当；（3）设0,1，则－－()()()121111112121101,,,,,,,,,,,,,niininnnnnnnniiiiiiPPPBPpppPpppUPUPππππ====∈==⎛⎞⊕=⎜⎟⎝⎠∑∑∑…………推理：设≥，则ECJTUxulong()()()()()130BWBRabPBWPaUPb→≥∈=+∼命题1.1设具有性质性质，：是关于偏好序“”的效用函数，它们都具有定理1.2的性质1,2,3效用函数，则存在实数和实数使对任意，有ECJTUxulong1.3投资者的风险类型及风险度量()12121.3.10PBhphpphph∈+=投资者的风险类型对于抽彩或赌博，状态出现的概率为，状态出现的概率为1－，而且1－，这表明赌博是公平的。0w01wh+02wh+()0Vw()()()0102pVwhpVwh+++1－p1－pECJTUxulong()()()()()()()()()()()()()()00102010210,0VwVpwhpwhpVwhpVwhVxVxVxVxwVEwEVw=+++⎡⎤⎣⎦+++′′′⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦风险厌恶型1－≥1－可见，为凹函数。如果二次连续可微，≤，对一般的风险资产有≥，则称投资者为风险厌恶型。ECJTUxulong()()()()()()()()()()()()()()00102010220,0VwVpwhpwhpVwhpVwhVxVxVxVxwVEwEVw=+++⎡⎤⎣⎦+++′′′⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦风险爱好型1－≤1－可见，为凸函数。如果二次连续可微，≥≥，对一般的风险资产有≤，则称投资者为风险爱好型。ECJTUxulong()()()()()()()()()0010201023VwVpwhpwhpVwhpVwhVx=+++⎡⎤⎣⎦=+++风险中性型1－1－可见，为线形函数，称投资者为风险爱好型。ECJTUxulong1.3.2马科维茨风险溢价()()()()()()()()()()000010200,,,whVwwhpVwhpVwhVEwwEVΘ−Θ=+++−Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+Θ设满足下列条件1－更一般地，其中，。则称为马科维茨风险溢价。()()()()000,,whwwhEwwΘ−Θ−Θ若越大，表明越厌恶风险。称或为确定性等价财富。ECJTUxulongXVU(x)U(px+(1-p)y)pu(x)+(1-p)u(y)U(y)Y=w0+h2X’px+(1-p)y=w0x设y=w0+h2,x=w0+h1X’为确定性等价财富w0－x’为马科维茨风险溢价ECJTUxulong0()ln100.850.2Vxxww==例：设投资者的效用函数。初始财富为。以概率取，以概率取30。求马科维茨风险溢价。()()()()()()()()()0000.850.23010ln102.30.8ln50.2ln301.971.977.17107.172.83EwVEwEVwVEwwhEVwEwwhwh=×+×==≈⎡⎤⎣⎦=×+×=⎡⎤⎣⎦⎡⎤−Θ−==⎡⎤⎣⎦⎣⎦−Θ−=Θ−=−=解：由确定性等价财富所以，马科维茨风险溢价ECJTUxulong1.3.3阿罗－伯瑞特绝对风险厌恶函数()()()()()()()()()VEwwEVwVEwwVEwVEο−Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦′−Θ=−Θ+Θ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦由风险溢价的定义由微分公式，将等式的左边写为()()()()()()()()()222VwEwVwVEwVEwwEwVEwwEwwEwο′=+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦′′⎡⎤⎣⎦=−+−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦把在展开，得ECJTUxulong()()()()22VEσ⎡⎤′′⎡⎤⎡⎤⎣⎦Θ≈−⋅⎢⎥⎢⎥′⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，()()()()()()()1VxAxVxTxAxRxxAx−′′=−′==⋅称为阿罗－伯瑞特绝对风险厌恶函数。称为风险容忍函数。称为相对风险厌恶函数。()()()()()222VEwEVwVEσο′′⎡⎤⎣⎦−=+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦两边取期望，得ECJTUxulong1.3.4常用的效用函数－双曲绝对风险厌恶效用函数()10011rraxaxVxbabrrr−⎛⎞=++⎜⎟−−⎝⎠，，函数定义域为()()12211rraxaxVxabVxabrr−−⎛⎞⎛⎞′′′=+=−+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠()()()1111rVxaxxbAxabVxrra−−′′⎛⎞⎛⎞=−=+=+⎜⎟⎜⎟′−+⎝⎠⎝⎠因此，是一条双曲线。()1xbTxra=+−而是一条直线。ECJTUxulong当参数取不同值，可以得到各种常用的效用函数：()()1rVxaxb==+1当时，是线性函数，是风险中性者的效用函数。()()()()221220rVxbaxVxxaxa==−−=+2当时，一般写成，()()()1axbrVxeAxa−=→∞=−=3当，时，，是指数效用函数。这时，，具有常绝对风险厌恶特征。ECJTUxulong()()()011rxbrVxrTxr===−4当，时，，是幂效用函数。这时，，具有常相对风险厌恶特征和递减绝对风险厌恶。()1100ln1rrxabrxrr−⎛⎞==→→⎜⎟−⎝⎠5当，，时，，是对数效用函数，是等弹性边际效用函数()()()1VxxRxVx′′=−=′