第4章 效用函数

第四章第四章效用函数效用函数管理决策分析第三章国际经济管理学院随机决策问题1.随机决策的特点„状态的随机性„决策结果值的效用特性2.随机决策分析的基础在随机决策中，决策系统（Ω,A,F）中的决策方案决策方案均是在状状态空间态空间背景中加以比较，并按照某种规则规则，选出决策者最满意的行动方案。两个问题：„如何表述在状态空间背景中的决策方案，„如何按照人们共同遵循的行为准则，作为评价方案优劣的价值标准。管理决策分析第三章国际经济管理学院例1某工厂要对一项新产品是否投产进行决策。为了市场有两者状态：好、坏。投产与否的后果（收益）如下：0-3万坏（0.5）020万好（0.5）不投产a2投产a1方案状态管理决策分析第三章国际经济管理学院“圣彼德堡悖论”问题„有这样一场赌博：掷硬币直到头部出现为止。当头部出现时，如果投掷次数为x，则奖励金额为2x-1元。一旦头部出现，博弈终止。第一次赢得1元，第一次输第二次赢得2元，前两次输第三次赢得4元，……一般情形为前n-1次输，第n次赢得2的n-1次方元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？„如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！„但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在2-3之间。„因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定性问题。效用及效用函数管理决策分析第三章国际经济管理学院4.1理性行为公理一、事态体及其关系1.事态体的定义在管理决策理论中，常用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较。定义：具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。11=∑=njjp设事态体的n个可能结果值为o1,o2,…,on,相应出现的概率为p1,p2,…,pn,并且则事态体记作T=(p1,o1;p2,o2;…,pn,on)管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系2.事态体的表示和性质事态体T=(p1,o1;p2,o2;…,pn,on)可以用树形图表示特别地，当n=2时，称T为简单事态体，即：T=(p,o1;1-p,o2)。简单事态体T的树形图……管理决策分析第三章国际经济管理学院例2某公司研究试制一种新产品，投入市场有一定风险。根据市场预测，该产品在市场看好的情况下，可以获利20万；在市场前景较差时，将亏损5万元。市场较好和较差的概率分别为0.6和0.4。管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系事态体集合Γ(伽马)的性质„在凸线性组合下，Γ是闭集。即若T1∈Γ,T2∈Γ,当0≤λ≤1时，有λT1+(1-λ)T2∈Γ解释和举例：‹可以理解为闭区间中两点的线性组合仍然属于该区间（连续情况）‹离散：需五台设备，有A、B两种型号的组合„退化事态体仍属于事态体集合。退化事态体T=(o,o1;o,o2;…;1,oj;…;o,on)∈Γ管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系3.事态体的比较决策的最终结果，是将行动方案依据某种准则作出合理的排序，从而选择最满意的方案。方案的排序就是事态体的比较。定义1：设o1,o2是事态体T任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，o1和o2有：„若对结果值o1,o2无所偏好，则称o1无差异于o2,记做o1~o2。„若偏好结果值o1,则称o1优于o2,记做o1o2；反之，称o1劣于o2,记做o1o2。fp„若不偏好结果值o1,则称o1不优于o2,记做o1o2；反之，称o1不劣于o2,记做o1o2。pf管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系3.事态体的比较定义2：设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1,o2,即T1=(p1,o1;1-p1,o2),T2=(p2,o1;1-p2,o2),并假定o1o2f„若p1=p2,则称事态体T1无差异于T2,记作T1~T2。p„若p1p2,则称事态体T1优于T2,记作T1T2；反之，称事态体T1劣于T2，记作T1T2。f例：某公司试制新产品方案T1=(0.6,20;0.4,-5)另一新产品方案为T2=(0.7,20;0.3,-5)。显然，T2T1。f管理决策分析第三章国际经济管理学院一、事态体及其关系012oooff定义3：设有两个简单事态体T1,T2仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即T1=(p1,o1;1-p1,o0),T2=(p2,o2;1-p2,o0)，其中3.事态体的比较12TTf„若p1≤p2，则称事态体T2优于T1，记作„若T2~T1，则一定有p1p212TTf例：新产品方案T1=(p1,10;1-p1,-5)；新产品方案T2=(p2,20;1-p2,-5)如果p1=p2则：如果两个方案T1和T2无差异，则：p1p2管理决策分析第三章国际经济管理学院4.1理性行为公理二、理性行为公理„理性行为所遵循的一般规律，并且无需证明，为人们普遍接受，称之为理性行为公理。„理性行为公理是效用函数效用函数的基础。„只有满足理性行为公理的事态体集合，其元素之间的优劣关系和它的效用才具有一致性一致性。（优的元素，其效用一定大优的元素，其效用一定大）1.连通性公理Γ上事态体的优劣关系是连通的。21TTf12TTf即：若T1,T2∈Γ，则或者，或者，或者T1~T2，三者必居其一。说明：Γ上的所有元素，其优劣关系都具有可比性。管理决策分析第三章国际经济管理学院二、理性行为公理2.传递性公理Γ上事态体的优劣关系是传递的即：若T1,T2,T3∈Γ，则21TTf32TTf31TTf„，则„T1~T2,T2~T3,则T1~T3说明：Γ上元素优劣关系比较是可传递。全序集满足以下两个公理2的事态体集合，称为全序集。„连通性公理„传递性公理即：事态体集合上事态体的优劣关系是可比的，并且该关系是具有传递性的。管理决策分析第三章国际经济管理学院二、理性行为公理3.复合保序性公理p21TTp„若T1,T2,Q∈Γ,且0λ1，则当且仅当λT1+(1-λ)QλT2+(1-λ)Q有说明：事态体的优劣关系是可以复合的，复合之后的事态体保持原有的优劣关系不变。例：T1：投资股票A5万，T2：投资股票B5万，Q：银行存款5万若λ＝0.8λT1+(1-λ)Q：股票A4万，银行存款1万λT2+(1-λ)Q：股票B4万，银行存款1万显然：组合后的关系不变。管理决策分析第三章国际经济管理学院二、理性行为公理4.相对有序性公理321TTTff若T1,T2,T3∈Γ，并且则：存在数p,q，0p1,0q1，使得ffpT1+(1-p)T3T2qT1+(1-q)T3说明：Γ上事态体的优劣关系都是相对的，T1不是无限优。T3也不是无限劣，否则上述关系式是不能成立的。例：T1：产品A（0.5，10；0.5，0），T2：产品B（0.5，6；0.5，0）T3：产品C（0.5，2；0.5，0）显然321TTTff若：p=0.8；q＝0.1ff则：pT1+(1-p)T3T2qT1+(1-q)T3管理决策分析第三章国际经济管理学院4.2事态体的基本性质设事态体T1=(p,o1;1-p,o0),T2=(x,o2;1-x,o0)，且o1o0，o2o0。若o2o1，则：存在x=p’p，使得T1~T2。其中，x称为可调概率值。fff设事态体T=(x,o1;1-x,o2)，且o1o2,若对于满足优劣关系的任意结果值o3，则必存在x=p(0p1),使得T=(p,o1;1-p,o2)~o3其中结果值o3称为事态体T的确定当量确定当量，p称为o3关于o1与o2的无差异概率无差异概率。231ooofff性质2：确定当量和无差异概率性质1：管理决策分析第三章国际经济管理学院4.2事态体的基本性质性质3:∑==′njjjqpp1任一事态体无差异于一个简单事态体。设事态体T=(p1,o1;p2,o2;…,pn,on)，则必存在一个简单事态体T’=(p’,o*；1-p’,oo),使得T’~T。其中并且这里qj(j=1,2,….,n)是oj关于o*和oo的无差异概率o*max(o1,o2,….,on)oomin(o1,o2,….,on)pf管理决策分析第三章国际经济管理学院基本性质（三）说明„任一事态体均无差异于某一简单事态体。„因此，在决策分析中，比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较相应简单事态体之间的优劣关系，再根据事态体优劣或无差异关系的传递性，得到所讨论事态体的排序。例：新产品方案：T=(0.25，100；0.25，50；0.25，0；0.25，-50)o*＝100，o0＝-50T～（0.5，100；0.5，-50）管理决策分析第三章国际经济管理学院()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞……………⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛…=×mnnnmmnmijooooooooooO212221212111　　　　4.4效用函数根据性质三，存在简单事态体T’i，使得Ti~T’i=(p’i,o*;1-p’i,oo)设有决策系统（Ω,A,F），在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵矩阵O的每一行都表示一个可行方案的n个可能结果值，即事态体Ti=(p1,oi1;p2,oi2;。。。;pn,oin),(i=1,2,…,m)其中，pj=P(θj)是已知的状态概率。此问题决策，就是对这m个事态体排序。管理决策分析第三章国际经济管理学院4.4效用函数„于是，决策问题就转化为对m个简单事态体T’i的排序。„由事态体的性质知，最满意方案所对应的简单事态体，应该是p’i最大概率值所对应的简单事态体。∑==njijimiimiqpp111max'max„要求最大概率值，关键在于求出无差异概率值qij，而qij由下面关系式确定：oij~(qij,o*;1-qij,oo)„qij的大小与结果值oij的优劣具有一致性„结果值oij越优，相应的qij值就越大；反之，qij值就越小。无差异概率值是无量纲的量。„结果值集合{oij}与无差异概率值集合{qij}之间存在着某种对应关系，且0≤qij≤1。管理决策分析第三章国际经济管理学院4.4效用函数一、效用（utility）„在经济学中，效用是指商品和劳务满足人的欲望或需要的能力。„在决策中，效用描述可行方案的各种结果值满足决策者愿望，实现决策者偏好程度的问题。„效用因人、因时、因地而不相同。效用的定义：设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者均有不同的值和作用。反映结果值o对决策者价值和作用大小的量值称为效用，记作u=u(o)管理决策分析第三章国际经济管理学院4.4效用函数一、效用（utility）效用定义的说明„在决策理论中，效用是概念，反映决策方案的结果值满足满足和实现决策者愿望和倾向愿望和倾向的程度。„效用也是量值量值，可以用具体的方法测定，并作为决策分析的依据。二、标准效用测定法V-M方法设有决策系统（Ω,A,F），其结果值集合为O={o1,o2,…,on}，记V-M测定结果值oj(j=1,2,…,n)效用值u(oj)o*max{o1,o2,…,on}Oomin{o1,o2,…,on}pf管理决策分析第三章国际经济管理学院二、标准效用测定法标准效用测定法步骤„设u(o*)=1,u(oo)=0。„建立简单事态体(x,o*;1-x,oo)，其中x称为可调概率。„通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，当x=pj时，得到无差异关系oj~(pj,o*;1-pj,oo)。„测得结果值oj的效用u(oj)=pju(o*)+(1-pj)u(oo)=pj标准效用测定法说明„基本思路：是在结果值集合的基础上，用最优值和最劣值建立简单事态体，通过反复提问，直到决策者认可的无差异关系，用无差异概率值来测度结果值的效用。„根据理性行为公理和事态体性质，这种方法保证了结果值和效用关系的一致性。管理决策分析第三章国际经济管理学院例某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利10万元，滞销时将亏损1万元。不妨设o*=10，oo=-1。这个风险方案可以表示为事态体：(p,o*;1-p,oo)另