2004-2011高考全国卷立体几何试题分类评析

2004——2011高考立体几何全国卷分类评析一、异面直线所成的角1.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（A）15（B）25（C）35（D）452.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为（A）1010(B)15(C)31010(D)353.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为(A)34(B)54(C)74(D)344.直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°5.已知：正方体1111ABCDABCD中，E是11CD的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为__________参考答案:DCDC32(21)(本小题满分12分)三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求证AB⊥BC；(II)如果AB=BC=23，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小．文科ABCP21.⑴证明：取AC中点O,连结PO、BO.∵PA＝PC∴PO⊥AC又∵侧面PAC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又PA＝PB＝PC∴AO＝BO＝CO∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BCOABCPD⑵解：作OD⊥PC于D,连结BD∵AB=BC=23,AB⊥BC,AO=CO∴BO⊥AC,侧面PAC⊥底面ABC∴BO⊥侧面PAC,∴BD⊥PC∴∠BDO为侧面PBC与侧面PAC所成二面角的平面角.∵AB=BC=23,AB⊥BC,AO=CO∴BO=CO=6,PO=3∴2POOCODPC∴tg∠BDO=3BOOD∴∠BDO=3即侧面PBC与侧面PAC所成二面角为3.zyx图1ABCDPOE21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=.963334831（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P（0，0，33），A（23，－3，0），B（23，5，0），D（－23，－3，0）所以).0,8,34(),33,3,32(BDPA因为,002424BDPA所以PA⊥BD.图2ABCDPOEF解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.能过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得.ABADAEEO所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90°所以AF⊥BD.因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD.二、直线与平面所成角1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A）75°（B）60°（C）45°（D）30°2.已知三棱锥的侧棱长为底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．36B．34C．22D．323．正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）634.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A34B）54C）74（D）345.4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于A．13B．23C．33D23CADD二、直线与平面所成角1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A）75°（B）60°（C）45°（D）30°2.已知三棱锥的侧棱长为底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．36B．34C．22D．323．正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）634.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A34B）54C）74（D）345.4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于A．13B．23C．33D23（19）（本小题满分12分）四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45o，AB=2，BC=22，SA=SB=3.（Ⅰ）求证：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小.文科B二、直线与平面所成角1.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A）75°（B）60°（C）45°（D）30°2.已知三棱锥的侧棱长为底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A．36B．34C．22D．323．正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）634.已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为A34B）54C）74（D）345.4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于A．13B．23C．33D23B20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.理科19．解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又045ABC，故为△AOB等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC．（2）由（1）知SABC，依题设AD‖BC，故SAAD，由AD=BC=22，SA=3，AO=2，得SO=1，SD=11．△SAB的面积22111()212SABSAAB．连结D，得△DAB的面积21sin13522oSABAD．设D到平面SAB的距离为h，由VD-SAB=VS-ABD,得121133hSSOS，解得2h．设SD与平面SAB所乘得夹角为，则222sin1111hSD．所以，直线SD与平面SAB所成得角为22arcsin11．解法二：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．∵SA=SB,∴AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O-xyz．2,0,0A,0,2,0B,0,2,0C,0,0,1S,2,0,1SA,0,22,0CB,0SACB,∴SA⊥BC．（2）取AB中点E,22,,022E．连接SE，取SE中点G，连接OG,221,,442G,221,,442OG,22,,122SE,2,2,0AB0SEOG,0ABOG,OG与平面SAB所成的角记为，则与互余．2,22,0D,2,22,1DS,22cos11OGDSOGDS,22sin11,所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11．20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.理科20.方法一：（I）证明：连结EPABCD，PD底面DE在平面ABCD内DEPD，又CE＝ED，PD＝AD＝BCF为PB中点PBEF由三垂线定理得ABPA在PABRt中AFPF，又EABEPEFAEFEFAEFPPB、FA为平面PAB内的相交直线EF平面PABBEPEPDERtBCERt（II）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝13,22AC，PAABPAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且PBAFPB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF连结BE交AC于G，作GH//BP交EF于H，则GH平面AEFGAH为AC与平面AEF所成的角由BGAEGC~可知33232,31,21ACAGEBEGGBEG由EBFEGH~可知3131BFGH63sinAGGHGAHAC与平面AEF所成的角为63arcsin方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系(1)证明：设E（a，0，0），其中0a，则C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，21，21）)0,0,2()1,1,2()21,21,0(aABaPBEFPBEFPBEF0……3分ABEFEFAB0又PB平面PAB，AB平面PAB，BABPBEF平面PAB（II）解：由BCAB2，得22a可知)1,1,2(),0,1,2(PBAC63||||,cosPBACPBACPBAC异面直线AC、PB所成的角为63arccos)21,21,22(AFAFPBPBAF0又EFPB，EF、AF为平面AEF内两条相交直线PB平面AEFAC与平面AEF所成的角为)63arcsin(63arccos2即AC与平面AEF所成的角为63arcsin三、空间中的距离1.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为4和6，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为‘、BA'，若AB=12，则A'B'=（）（A）4（B）6（C）（D9(理科10）已知二面角l为60，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（）(A)(B)2(C)23(D)4BC(文科)4.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．2C．3D．2(理科)5.已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆Ｍ与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.C32.地球北纬45圈上有两点AB、，点A在东经130处，点B在西经140处，若地球半径为R，则AB、两点的球面距离为3.已知菱形ABCD中，2AB，120A，沿对角线BD将ABD△折起，使二面角ABDC为120，则点A到BCD△所在平面的距离等于．R3R323四、体积与表面积(文)1.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱柱的体积为（）A.223B.2C.23D.423(文)3．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为（）A．3B．6C．9D．18(文)5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A）16（B）20