6C函数在某点取得极值的条件

函数在某点取得极值的条件1、（2011•上城区）设y=f（x）在R上可导，则f′（x0）=0是y=f（x）在x=x0处取得极值的（）条件．A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要考点：函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解，y=f（x）在R上可导，举例子f（x）=x3题设和条件能否互推．解答：解：y=f（x）在R上可导，当f（x）=x3在x=0处的导数为0，但不取得极值．∴不充分，∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的必要不充分条件；故选B．点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程f′（x）=0的根，解题的关键是要学会举反例．2、（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A、2B、3C、6D、9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2-2ax-2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤(a+b2)2=9当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．3、（2007•江西）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（）A、-15B、0C、15D、5考点：函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质；三角函数的周期性及其求法．分析：偶函数的图象关于y轴对称，x=0为极值点，f（x）是R上以5为周期，x=5也是极值点，极值点处导数为零解答：解：∵f（x）是R上可导偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0，又∵f（x）的周期为5，∴f′（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0，故选项为B点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件4、若函数f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（）A、α＞βB、α＜βC、α=βD、α与β的大小不确定考点：函数在某点取得极值的条件．分析：利用积的导数法则求f′（x），g′（x）；据函数极值点处的导数为零，列出方程解得．解答：解：∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2又f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0∴α=e-12，β=e-1∴α＞β故选A．点评：本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零．5、已知关于x的三次函数f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值，则b-a的取值范围是（）A、（-1，+∞）B、（-2，+∞）C、（-3，+∞）D、（-4，+∞）考点：函数在某点取得极值的条件．分析：极大值是函数先增再减，相应导数是先增后负得不等式组再利用线性规划解解答：解：f′（x）=ax2+bx+2∵f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值∴{f′(1)＞0f′(2)＜0即{a+b+2＞04a+2b+2＜0∴-4＜b-a故选项为D点评：函数在某点处取极值的条件，利用线性规划求范围6、函数f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）A、a＞-316B、-65＜a＜-316C、a＞-65D、-65≤a≤-316考点：函数在某点取得极值的条件．分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同解答：解：f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2）（x-1）令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反∴f（-2）=-83a+2a+4a+2a+1=163a+1和为极值，f（1）=13a+12a-2a+2a+1=56a+1∵图象经过四个象限∴f（-2）•f（1）＜0即（163a+1）（56a+1）＜0解得-65＜a＜-316故答案为B点评：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象7、已知函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，则实数m的取值范围是（）A、（-2，-1）∪（13，23）B、（-23，-13）C、（l，2）D、（-23，13）∪（l，2）考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，我们易得函数的导函数在在区间（1，2）内有零点，结合零点存在定理，我们易构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1∴f'（x）=x2-2mx-3m2，若函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，则f'（x）=x2-2mx-3m2在区间（1，2）内有零点即f'（1）•f'（2）＜0即（1-2m-3m2）•（4-4m-3m2）＜0解得m∈（-2，-1）∪（13，23）故选A点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法．8、已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（）A、-13B、-15C、10D、15考点：函数在某点取得极值的条件；函数的最值及其几何意义．分析：令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．解答：解：∵f′（x）=-3x2+2ax函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值∴-12+4a=0解得a=3∴f′（x）=-3x2+6x∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n2+6n当n=-1时，f′（n）最小，最小为-9当m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4f′（m）=-3m2+6m令f′（m）=0得m=0，m=2所以m=0时，f（m）最小为-4故f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13故选A点评：函数在极值点处的值为0．；求高次函数的最值常用的方法是通过导数．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：数形结合．分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答：解：∵函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内∴{f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0画出区域如图，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，M，N两个点为边界处的点，当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，由图知b-2a-1∈(14，1)．故选C．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：数形结合．分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答：解：∵函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内∴{f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0画出区域如图，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，M，N两个点为边界处的点，当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，由图知b-2a-1∈(14，1)．故选C．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．9、已知函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b-2a-1的取值范围是（）A、(-1，-14)B、（-∞，-14）∪（1，+∞）C、(14，1)D、(12，2)考点：函数在某点取得极值的条件．专题：数形结合．分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答：解：∵函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内∴{f′(0)＞0f′(2)＞0f′(1)＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0画出区域如图，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，M，N两个点为边界处的点，当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，由图知b-2a-1∈(14，1)．故选C．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．10、已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（）A、（22，2）B、（12，4）C、（1，2）D、（1，4）考点：函数在某点取得极值的条件．分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．解答：解：∵f（x）=13x3+12ax2+2bx+c∴f′（x）=x2+ax+2b∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0即{b＞0a+2b+1＜a+b+2＞00（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离22，平方为12为最小值，（-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值故选项为B点评：本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值．11、已知函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b-2a-1的取值范围是（）A、(-1，-14)B、（-∞，-14）∪（1，+∞）C、(14，1)D、(12，2)考点：函数在某点取得极值的条件．专题：数形结合．分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．解答：解：∵函数f