3.4 随机变量的独立性与条件分布

返回上页下页目录2020年1月27日星期一1FxyPXxYy由于，，yYPyFxXPxFYX，以及：相互独立，实际上是指与可知，随机变量YX相互独立．与，随机事件，对于任意的yYxXyx返回主目录3.4随机变量的独立性与条件分布独立性的引入返回上页下页目录2020年1月27日星期一2连续型随机变量的独立性XYXYXYFxyXFxYFyxyFxyFxFyXY设，是二维随机变量，其联合分布函数为，，又随机变量的分布函数为，随机变量的分布函数为．如果对于任意的，，有，则称，是相互独立的随机变量．返回主目录3.4随机变量的独立性与条件分布返回上页下页目录2020年1月27日星期一3XYfxy设，是二维连续型随机变量，其联合密度函数为，，．是相互独立的随机变量，则称YX须成立．必，的所有连续点，特别地，上式对yxyxfXXfx又随机变量的边缘密度函数为，有，，如果对于几乎所有的yxyfxfyxfYX，，缘密度函数为yfY的边随机变量Y返回主目录连续型随机变量的独立性返回上页下页目录2020年1月27日星期一4例：已知随机变量X和Y的联合概率密度为()e,0,0,(,)0,xyxxyfxy其它.问X和Y是否独立？解：当x≤0时，由于f(x,y)=0.故()0Xfx当x0时，()(,)dXfxfxyy()0edxyxyexx因此e,0,()0,0.xXxxfxx返回上页下页目录2020年1月27日星期一5同理e,0,()0,0.yYyfyy()()(,)XYfxfyfxy即X和Y相互独立。从而返回上页下页目录2020年1月27日星期一6证明：221122(,)(,)XNYN，即2121()211()e,2πxXfxx2222()221()e,2πyYfyy故22122212()()1[]2121()()e2πxyXYfxfy例：如果二维变量，试证：X与Y相互独立的充要条件是ρ=0．221212(,)(,,,,)XYN返回上页下页目录2020年1月27日星期一7又2211222221212()()()()122(1)2121(,)e2π1xxyyfxy故当ρ=0时，()()(,)XYfxfyfxy即X和Y相互独立。反之，当X和Y相互独立时，对所有的x和y，有()()(,)XYfxfyfxy特别地，令12,xy得到21212112π2π1从而ρ=0。返回上页下页目录2020年1月27日星期一8连续型随机变量的条件分布定义:对任意给定的正数，若0PxXx，且对任意实数y，极限00,lim|limPxXxYyPYyxXxPxXx存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函数。记为|(|)YXFyx由于|(|)YXFyx0,limPxXxYyPxXx0lim|PYyxXx返回上页下页目录2020年1月27日星期一90(,)ddlim()dyxxxXxfxyxyfxx(,)d()yXfxyyfx(,)d()yXfxyyfx称为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。(,)()Xfxyfx记为:|(,)(|)()YXXfxyfyxfx同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为(,)(|)()XYYfxyfxyfy返回上页下页目录2020年1月27日星期一10例：已知(X,Y)的概率密度为221,1,(,)π0,xyfxy其它.求.(|)XYfxy解：由.()(,)dYfyfxyx可得：当y-1或y1时，由于f(x,y)=0.故()(,)d0Yfyfxyx当-1≤y≤1时，()(,)dYfyfxyx22111dπyyx221πy返回上页下页目录2020年1月27日星期一11因此221,11,()π0,Yyyfy其它.于是，当-1≤y≤1时，(,)(|)()XYYfxyfxyfy2221π,11,21π0,yxyy其它.返回上页下页目录2020年1月27日星期一122221,11,(|)210,XYyxyfxyy其它.即返回上页下页目录2020年1月27日星期一13例：已知(X,Y)的概率密度为26,,01,(,)0,xyxxfxy其它.求（X,Y）的条件密度函数.解：()(,)66(),010,Yyyfyfxydxdxyyy其它.返回上页下页目录2020年1月27日星期一14于是，当0y1时的条件密度函数为：/1,,(,)(/)()0,XYYyxyfxyyyfxyfy其它.22()(,)66(),010,Xxxfxfxydydyxxx其它.同理返回上页下页目录2020年1月27日星期一15内容小结