第二章 函数与极限

第二章极限与连续参考学时：12学时；主要内容：数列、函数的定义与性质；极限的运算法则、两个重要极限；无穷小与无穷大的定义与性质；函数的连续性与闭区间上连续函数的性质。教学目的：理解极限的定义及极限值与函数值的关系；理解极限的运算法则、掌握两个重要极限，能用运算法则及重要极限熟练求函数的极限；掌握函数连续的定义，会判断函数的连续性及间断点的类型，会求间断点；理解闭区间上连续函数的特性并能应用。重点：求极限及判断函数的连续性。难点：分段函数在分段点处的极限的存在性、连续性的判断。教案一课题§2-1数列的极限§2-2函数的极限课时3课时教学目的理解数列、函数的定义；理解收敛数列的性质；理解左右极限的定义及其与极限的关系；掌握极限值与函数值的关系。重点难点重点：1、极限及单侧极限的意义；2、极限与单侧极限的关系。难点：用极限的定义证明极限。教学过程§2-1数列的极限一、数列极限的概念1．复习数列的有关概念定义：按照一定顺序排列着的一列数,....,,....,21nxxx就叫数列，记作nx。事实上，数列nx可看作自变量为正整数n的一个整标函数nfxn，当n依次为1，2，3，…。，n，…。一切整数时，对应的函数值就排列成数列nx。问题的提出：对于数列nx，研究当n无限增大取值（即n→∞）时，对应的nfxn能否无限的趋向于一个常数a？若能，这个常数a=？例如：数列n11xnn，当n→∞时，nx与1无限靠近，即nx→1，此时就说：当n→∞时，数列n11xnn的极限为1。注意：上例中有两句话：第一句是：n→∞第二句是：nx→1用精确的数学语言如何表达？n→∞，即存在充分大的正数N，当nN无限取值；nx→1，即对0，存在上述的N，使当nN时的一切nx，恒有axnε成立，则常数a为数列nx当n→∞时的极限，记作aximnnL或naxn，此时也称数列收敛于a，或称数列nx为收敛数列。若数列没有极限，则数列是发散的或是发散数列例如上例即可记为1n11Lnnim例1证明数列2nn1n1x的极限为0证由于1n11n10x2n故对任意的ε0，要使0xn，只须1n1，即11n，即可，于是可取11N，则当nN时，01n12n恒成立即2n1n1Lnim=0例2设1q求证1nqLnim=0证明对0，因为1n1nnq0q0x，要使0x，只须1nq且1q，故0qln，所以1lnlnqn故取1lnlnqN，则，当nN时，就有01nq恒成立，即1nqLnim=0二、数列极限的几何意义及收敛数列的性质1．数列极限的几何意义由于nnxLim=a＜＝＞对0，存在N（），当nN（）时，不等式axn恒成立，因axn＜＝＞anxa即当nN时，数列中的点nx，即从第N+1项开始和它以后的一切项,....,21nnxx都落在点a的邻域aa,内，在aa,外最多有nx的有限个点——nxxx,,.........,21如图2-1示结论：若nnxLim=a，则nx的所有点几乎全部落在点a的邻域aa,内，这就是数列极限的几何意义。2．收敛数列的性质定理1（收敛数列的有界性）若数列nx收敛，则nx一定有界定理2（极限的唯一性）收敛数列的极限是唯一的。例3数列,.....2,1nnxn是发散的，因为它无界。例4：讨论数列11nnx是发散的§2-2函数的极限预备知识：自变量的变化趋势1．自变量x无限的接近某个定值0x取值，记作0xx，而0xx又包含⑴x从大于0x的方向无限靠近0x取值，记作0xx⑵x从小于0x的方向无限靠近0x取值，记作0xx2．自变量x的绝对值x无限增大取值，记作x，而x包含（1）x取正值无限增大取值，记作x（2）x取负值而绝对值无限增大取值，记作x下面就分别讨论自变量在以上两种变化趋势下，函数的变化趋势，即函数的极限。一、0xx时，函数xf的极限定义1设函数xf在0x的某一去心邻域内有定义，A为常数，若对0，总存在正数，使得对于适合不等式0xx0的一切x，对应的函数值都满足不等式Axf则称常数A为函数xf当0xx时的极限，记作xf0xnLim=A或0xxAxf注：①定义中要求0xx0表示0xx，这说明0xx时，xf的极限存在与否与xf在0x点有无定义无关。事实上，极限xf0xnLim=A研究的是自变量x无限靠近（从两方）0x取值时，xf的变化趋势0xx表示的是x在0x点的左右两旁取值，但0xx。极限xf0xnLim=A表示的是xf在0x点左右两旁的函数值的变化趋势与0x点的函数值无关。②不等式0xx0等价于AxA且0xx；而不等式Axf等价于AxfA。于是得函数极限的几何意义：对任意给定的正数，作两条直线Ay及Ay，若存在点0x的一个邻域,xu0时，函数xfy的图象都位于直线Ay及Ay之间。如图2-2示例1证明cc0.xxLim（c为常数）证明由于0cccxf，由此对0，可任取一正数，当0xx0恒有0cccxf成立，所以cc0.xxLim例2证明45x56xxLim25X证明这里函数在x=5处无定义，但函数当x5时的极限与它在x=5处有无定义无关。事实上，对0，不等式5x45x56xx2欲使45x56xx2即5x时，5x45x56xxAxf2成立，所以45x56xxLim25X二、左、右极限定义2若当0xx时，xf的极限为A，则称A为xf当0xx时的右极限，记作0xxLimxf=A，或;A0xf0同理可定义左极限定义30xx时，xfA则数A为xf当0xx时的左极限，记作0xxLimxf=A，或A0xf0。由以上定义及当0xx时函数极限的定义易得：结论0xxLimxf=A0xf0;A0xf0此结论常用于判断或讨论分段函数在分段点处的极限是否存在。例3设xf=0x1x0x10xx，问x0时，xf的极限是否存在？解因为00f=0xxLimxf=0xxLimx=000f=0xxLimxf=0xxLim（x-1）=-100f00f，故0xxLimxf不存在例4证明01limxx®不存在证明因为01limxx+®=+?，01limxx-®=-?故01limxx®不存在注：由例3、例4可以看出0xx®时，()fx的极限不存在的两种不同情形。三、x时，函数()fx的极限定义4设函数()fx在x充分大时有意义，A为一常数，若对0e，总存在一正数X，使得当xX时，不等式()fxAe-恒成立，则称常数A为函数()fx当x时的极限，记作lim()xfx=A，或()fx®A（x）。类似地也可定义单侧极限定义5若当x??时，()fx®A，则称A为()fx当x??时的极限，记作lim()xfxA??=，或()fA+?。定义6若当x??时，()fx®A，则称A为()fx当x??时的极限，记作lim()xfxA??=，或()fA-?。不难证明以下结论：lim()lim()lim()xxxfxAfxfxAギ-?=?=例5证明1lim0xx=证对证明对0e，欲使1()0fxxe-=只须1xe即可，故只须取X1e³，则当xX时，就有110xxe-=即limx10x=四、极限值与函数值的关系定理2（保号性）若0limxx®()fxA=，且A0(或A0)，则存在0x的某一邻域，使当x在该邻域内（0xx¹）取值时，有()fx0（或()fx0）证设A0，取正数Ae£，由于0lim()xxfxA®=的定义，对这个取定的正数e，存在一正数0d当00xxd-时，有()fxAe-成立，即AxAee-+，因Ae£，故0Ae-?，所以()0fx，同理可证A0的情形。定理3若()0fx³（或()0fx£），且0lim()xxfxA®=，则0A³（或0A£）证反证因()0fx³，假设上述结论不成立，即A0，那么知存在0x的某一邻域，在该邻域内()0fx，这与已知()0fx³矛盾，故0A³同理可证()0fx£时，有0A£五、的情形。习题2-2作业难点提示（27页）已知()xfxx=，()xxxj=，问0lim()xfx®、0lim()xxj®是否存在？解因00lim()lim1xxxfxx==，故0lim()xfx®=1存在，而00lim()lim1xxxxxj++==，00lim()lim1xxxxxj---==-即(00)(00)jj-?，故0lim()xxj®不存在。教案二课题§2.3极限的运算法则，两个重要极限课时3课时教学目的理解并掌握极限的运算法则及重要极限，能应用法则及重要极限熟练求函数的极限。重点难点四则运算法则，重要极限及应用，重要极限的证明。教学过程复习巩固内容:1.函数极限的定义，左右极限的定义及其关系2.极限值与函数值的关系讲授新课§2.3极限的运算法则，两个重要极限一、极限的四则运算的法则定理若Lim)(xf=A，Lim)(xg=B，则1．Lim[)(xf±)(xg]=A±B2．Lim)(xf)(xg=AB3．Lim()()fxgx=AB(B¹0)就x®x0时的情形给出1的证明。另外1、2可推广到有限个函数的情形。推论1若Lim)(xg=C，Lim)(xf=A，则LimC)(xf=CLim)(xf=CA推论2若Lim)(xf=A，则Lim()nfx=[Lim)(xf]n=An定理应用举例例1求2limx®（2x2-5x+6）解原式=22limx®x2-52limx®x+6=2´4-5´2+6=4例2求2limx®222434xxx+-+解当x®2时，2limx®（32x+4）=5¹0，利用商法则原式=2224)Lim(Li34)m(xxx+-+=15-=15-例3求13lim1xxx®++解当x®1时，分子分母极限均为零，故不能直接用商法则，此题是典型的“00”的未定式。解决此类题的方法是因式分解消去极限为零的因子——（x-1），于是原式=1limx®(3)(1)(1)(1)xxxx+-+-=1limx®31xx++=42=2例4求042limxxx®+-解此题属“00”型的极限，通过分子有理化约去极限为0的因子，于是原式=0lim(42)xxxx®++=01lim42xx®++=14探究：“00”型的极限的求法？例5求2232342lim753xxxxx+++-解因x®0时，分子分母都趋向于无穷大，故不能直接用商法则。此题是典型的“¥¥”型的未定式，解决此类题的关键是分子分母同除以分母的x的最高次幂，于是同除以3x得原式=334233lim5377xxxxx++=+-例6求232321lim25xxxxx---+解此题属于“¥¥”型的极限，于是分子分母同除以3x得原式=233321lim0152xxxxxx--=-+练习求3232lim325xxxxx--+解原式=221lim253xxxx-=?-+总结：分子分母的极限均为¥的多项式的“¥¥”型的极限101101......lim......nnnmmxmaxaxabxbxb--++++++=00,0,,ìïï=ïïïïïíïïïïïï?ïîanmbnmnm其中000,0ab构，n、m