第二章 数列极限(1)

§1实数系的连续性1.实数集有理数和无理数有理数总可以表成qp(q、p均为整数,pN+）的形式，当要求p0时,且q,p没有大于1的公因子时,这种表示形式还是唯一的。有理数可以表示成有限十进小数或无限十进循环小数。无限十进不循环小数称为无理数。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数。全体实数与实轴上的点一一对应。任何实数x都可以表示为如下的无限小数。(1)x0时x=a0.a1a2an其中：a0为非负整数,0ai9(i=1,2,),且对任意整数N,总存在nN,使得an0。(2)x0时此时-x0，x可表为x=-a0.a1a2an(3)规定x=0时0=0.00000.a1a2an000=0.a1a2(an-1)9999其中an0说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x-y,则分别称x=y与xy(yx)1.实数集两个实数的大小关系说明:.自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,,,1,0,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210yxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn========++大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL,记为xy或yx。实数的性质1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab,a=b,ab.3.实数集的大小关系具有传递性.即若ab,bc,则有ac实数的性质.，则存在正整数n,使得nab即对任何4.实数具有阿基米德性,ba0,5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.实数的性质2.上确界与下确界最大数和最小数设S是个数集，如果S,使得xS，有x则称是数集S的最大数。记为=maxS；如果S,使得xS，有x，则称是数集S的最小数，记为=minS。当数集S是个非空有限集，即S只含有有限个数时，maxS,minS显然都存在，但当S是无限集时，最大数最小数就有可能不存在。例2.1.1集合A={x|x0}没有最大数，但有最小数0。例2.1.2集合B={x|0x1}没有最大数。说明:若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若数集S不是有界集,则称S为无界集..,,1][,0.100无上界即则取的下界的实数都是任何一个不大于显然+=N+MnMnMN+，{}.有下界而无上界为正整数数集例如nnN+=确界原理设S是一个非空数集,如果MR,使得xS,有xM,则称M是S的一个上界,如果mR,使得xS,有xm，则称m是S的一个下界。说明:Sx1x2x3x4x5xnax0，S的最小上界又是即;.,)(的上界是即有满足若数中的一个数集是设SxSxi，RS.supS，S=记作的上确界为数集则称数同理可得下确界的定义.•下确界定义:;.,)(的下界是即有满足若数中的一个数集是设SxSxi，RS.inf,,,)(00S，S，SxSxii=+ε0ε记作的下确界为数集则称数的最大下界又是即使得上确界定义a=00,,0)(xSxii使得确界存在原理定理2.1.1设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.证明：见P28.例2.1.3设A,B为非空数集,满足:.,yxByAx有证明数集A有上确界,数集B有下确界,且.infsupBA证:故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,Byy由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,yA中任一数都是B的下界,xy.supA是数集A的最小上界,故有supA下确界都存在的上因此，S设A,B为非空有限数集,.证明:BAS=而此式又表明数是数集B的一个下界,supA故由下确界的定义证得.infsupBA例2.1.4证:显然是非空有界数集由于BAS=BxAxBxAxSxisupsup,)(或或有{},sup,supmaxBAx从而有{};sup,supmaxsup)(BASi={}.inf,infmininf)(BASii=supS{};sup,supmaxBA故得,supsupSASA，另一方面.supsupSBSB同理又有(ii)可类似证明.作为练习supS{}.sup,supmaxBA所以定理2.1.2（确界的唯一性）非空有界数集的上（下）确界是唯一的。证明作为练习综上，即所得}sup,max{supsupBAS=例2.1.5设T={x|xQ,并且x0,x22},证明T在Q内没有上确界。见教材P30页首先证明T没有最大数。事实上,rT,令r1=r+1/n,要使r1T,必须使即就要证明rT,r1T,且r1r2)1(2+nr.212,121222rnrnrnnr+++所以只要,21222rnnr+因为于是取n(2r+1)/(2-r2)即可。其次证明T没有上确界。用反证法。假设T有上确界不仿设supT=AQ,因为222不是有理数，故A因为T没有最大数,所以A此时存在nN+,使得A-1/n由此推得,对rT,rA-1/n,此即2)1(2nA这与A是T的上确界矛盾。因此T在Q中没有上确界。2例2.16设函数f是[a,b]上的增函数,如果f(a)a,f(b)≤b证明存在x0[a,b]，使得f(x0)=x0。证明：令A={x:f(x)≥x},因为f(a)≥a,故A非空,f只在[a,b]上有定义,所以A是有界集.由确界原理,A存在上确界。记x0=supA，且x0[a,b],下面证明f(x0)=x0。若y0=f(x0)x0,因为f(x)是增函数,则y0=f(x0)≤f(b)≤b,所以f(y0)≥f(x0)=y0,这说明y0A,但y0x0,这与x0是A的上确界矛盾。若y0=f(x0)x0,由确界定义,存在x1A使y0x1≤x0因为f(x)是增函数,则f(x0)f(x1),但f(x0)=y0x1≤f(x1),这与f(x)是增函数矛盾。故结论成立。练习1：设A,B均为非空有界数集，定义数集{|,,}ABzzxyxAyB+==+证明：sup(A+B)=sup(A)+sup(B)inf(A+B)=inf(A)+inf(B)提示：按照确界定义来证明练习2由确界定理证明阿基米德公理，即证明：对任意实数a0及b,皆有正整数n，使nab.提示：用反证法。练习：设A,B均为非空有界数集，定义数集{|,,}ABzzxyxAyB+==+证明：sup(A+B)=sup(A)+sup(B)inf(A+B)=inf(A)+inf(B)提示：按照确界定义来证明对zA+B,则Z=x+y,xA,yB,且x≤supA,y≤supB所以Z=x+y≤supA+supB，即supA+supB是A+B的一个上界，故sup(A+B)≤supA+supBε0,x0A,y0B,使得x0supA-ε/2,y0supB-ε/2，则z0=x0+y0supA+supB-ε，所以supA+supB是A+B的一个最小上界，故sup(A+B)=supA+supB3.小结P32:1,2(C),4,5,7,8。(2),两个实数的大小关系;:作业(3),实数的性质;(1),有理数和无理数概念;(4),确界原理.