8.2-换元积分法与分部积分法

§8.2换元积分法与分部积分法一、第一类换元积分法)(])([)(')]([xuduufdxxxf.))((CxF（凑微分法）则若可导且,)()(,)(CuFduufIIx定理1：xIxuIuf)()(在上有定义，在区间设1、形如dxbaxf)(的不定积分例1、求下列不定积分。;1)(2)1(100dxx;1)2(22dxxa.341)4(;1)3(222dxxdxxa例2、求下列不定积分.2、凑中间变量.u.11sin(2);32)1(222dxxxxdxxx;1(4);112)3(2dxeedxxxxxx2例3、求下列不定积分.2、凑中间变量.u;1(2);lnlnln1)1(22dxaxdxxxx.lnln1(4);11)3(24dxx)(xxdxxx2例4、求下列不定积分.3、三角函数的不定积分;tan)1(xdx;cossin)2(3xdxx;cossincossin)3(dxxxxx.sec)4(xdx（凑中间变量）u例5、求下列不定积分.3、三角函数的不定积分;cos)2(;sin)1(32xdxxdx;cossin)4(;cos)3(524xdxxxdx（降次）例5、求下列不定积分.3、三角函数的不定积分;cos5sin(6);sin3sin)5(xdxxxdxx)cos()[cos(21sinsin)sin()[sin(21cossin积化和差例5、求下列不定积分.3、三角函数的不定积分.sectan(8);sectan)7(433xdxxxdxx;1tansec22xxCxdxxtansec2Cxxdxxsectansec二、第二类换元积分法dxxf)(dtttf)())((CtF)(CxF))((1换元：)(txdtttddx)()(积分回代)(1xt基本思想：.))(()(1CxGdxxf则若有连续导数且,)(IIt)(上，定义在设Ixf定理2：、内单调在)(tItx,)()())((CtGdtttf.)(,0)(',)('IItIttt且内连续在条件可改为：例6、求下列不定积分。.1)2(;)1(3dxexxdxx方法：去根号。.)1(22dxxa例7、求不定积分.)0(a.)2(22axdx例7、求不定积分.)0(a.)3(22axdx例7、求不定积分.)0(a七个常用的积分公式：;arctan11.122Caxadxxa;arcsin1.222Caxdxxa;||ln211.322Caxaxadxax;|tansec|lnsec.4Cxxxdx;|cotcsc|lncsc.5Cxxxdx;)ln(1.62222Caxxdxax.)ln(1.72222Caxxdxax七个常用的积分公式：例8、求下列不定积分。;621)1(2dxxx;21)2(2dxxx;)0()3(adxxaxa.)4(222dxxax三、分部积分法.)()()()()()(dxxvxuxvxudxxvxu则存在可导，与设,)()()()(dxxvxuxvxu定理3：简写为：vdxuuvdxvuvduuvudv或分部积分步骤：dxxf)(dxvu观察udv凑微分vduuv分部积分dxuvuv积分原则：容易凑出；.1dv.2.容易比dxvudxuv)(1dvvu或与、恰当选取例9、求.ln(2);sin)1(dxxxxdxx:'按照下列顺序选取v注：被积函数是两个基本初等函数u与'v的乘积，指数函数三角函数幂函数对数函数反三角函数例10、求.2dxexx两次分部积分2、综合使用分部积分与换元积分法例11、.arcsindxx求练习：.arccosdxx求3、使用分部积分通过方程求解例12、.dxxsec3求例13、求xdxexsin与.cosxdxex方法：两次分部积分，解一个方程方法：一次分部积分，解一个方程4、用分部积分法建立递推式例14、求xdxInntan)1(的递推式.dxaxInn)(1)2(22的递推式。思考：.)(,)(sindxxfxxfxex求的一个原函数是已知作业习题8-2：1（奇数题）作业2(3)(6)(8)、6(2)习题8-2：1（奇数题）