拉氏变换及反变换

补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换拉氏变换的定义常用函数的拉氏变换拉氏变换的定理拉氏反变换为什么用拉氏变换？应用拉氏变换法求解微分方程时，初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，可直接得到微分方程的全解。将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程，从而使计算大大简化。拉氏变换的定义设函数f(t)满足：1、f(t)实函数；2、当t0时，f(t)=0；3、当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛。0)(dtetfst则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：s=σ+jω（σ，ω均为实数）拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。常见时间函数拉氏变换表序号f(t)F(s)1单位脉冲函数:d(t)12单位阶跃函数:1(t)1/s3单位速度函数:t1/s24单位加速度信号:t2/21/s3567sin(wt)8cos(wt)ateatteas121as22wws22wss常见时间函数拉氏变换表序号f(t)F(s)9tn(n=1,2,3….)10(n=1,2,3….)1112teatwsinatnet1!nsn22wwasteatwcos1!nasn22wasas洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换阶跃函数的拉氏变换斜坡函数单位速度函数的拉氏变换抛物线函数单位加速度函数拉氏变换指数函数的拉氏变换（欧拉公式）三角函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换拉氏变换的主要运算定理线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理比例定理线性定理叠加定理原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式微分及多重微分积分定理原函数的n重积分像函数中除以sn多重积分原函数乘以指数函数e-at像函数S在复数域中作位移a位移定理原函数平移像函数乘以e-s延时定理原函数f(t)的稳态性质sF(s)在s=0邻域内的性质终值定理初值定理F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)条件：分母多项式能分解成因式10111011....()(),()....mmmmnnnnbsbsbsbBsFsmnAsasasasb))...()(())...()(()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnppp,...,,21mzzz,...,,21多项式极点多项式零点拉氏反变换方法部分分式法的求取拉氏反变换)(tf)(sF)()()(1sFsFsFn由线性性质可得如果的拉普拉斯变换可分解为并假定的拉普拉斯变换容易求得，即)(sFi)(sFi)]([tfLi则)]([)]([)]([sFLsFLsFLn1111)()(tftfn1例1求的Laplace反变换233)(2ssssF][][)]([)(2112111sLsLsFLtfttee220t解))(()(2132332sssssssF2112ss例2求的Laplace反变换解2)2(111)(sssF])([][)(2112111sLsLtf)(02tteett将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。拉氏变换求解线性微分方程应用拉氏变换法求解微分方程时，初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此可直接得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。例651)(2ssssF解：（1）F（s）的极点0652ss21s32s（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开成部分分式32)3)(2(1651)(212scscsssssssF32)3)(2(1651)(212scscsssssssF1)3)(2(1)2(21sssssc2)3)(2(1)3(32sssssc（3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。tteesLsLtf32112]32[]21[)(2])3()2(1)2[(2332sssssdsdc例解：)3()2(1)(3ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF2])3()2(1)2[(!21233221sssssdsdc1])3()2(1)2[(2333sssssc32)2(1)2(222)3()2(1)(323ssssssssFtteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(]32[])2(1[])2(2[]22[)(tteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(]32[])2(1[])2(2[]22[)(