2016-2017学年高中数学第2章概率2.3.2独立事件学案北师大版选修2-3讲义

第2课时独立事件1．理解相互独立事件的定义及意义．(重点)2．掌握相互独立事件概率乘法公式．(重点)3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理独立事件阅读教材P44～P45“练习”以上部分，完成下列问题．1．相互独立事件的概率(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝______，则称A，B相互独立．(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝____________.【答案】(1)P(A)·P(B)(2)P(A1)P(A2)…P(An)2．相互独立事件的性质若A与B是相互独立事件，则A与____，B与____，____与B也相互独立．【答案】BAA1．下列说法正确的有________．(填序号)①对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；②若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；③如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；④若事件A与B相互独立，则B与B相互独立．【解析】若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以①正确；若事件A，B相互独立，则A、B也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与B相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③2．甲、乙两人投球命中率分别为12，23，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．【解析】事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝AB∪AB且AB与AB互斥，P(C)＝P(AB∪AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝12×13＋12×23＝36＝12.【答案】12[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]事件相互独立性的判定判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【精彩点拨】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．【自主解答】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16.∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．判断两个事件独立性的方法：利用相互独立事件的定义即PAB＝PAPB，可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握.判定两个事件是否为相互独立事件，也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件.[再练一题]1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥【解析】对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.【答案】A相互独立事件同时发生的概率面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【精彩点拨】明确已知事件的概率及其关系→把待求事件的概率表示成已知事件的概率→选择公式计算求值【自主解答】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件ABC同时发生．故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－151－141－13＝45×34×23＝25.(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(ABC)＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．[再练一题]2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．【解】记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝C23C25×C22C25＝310×110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝C13·C12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[探究共研型]事件的相互独立性与互斥性探究你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？【提示】相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【精彩点拨】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．【自主解答】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有DEF，DEF，D－E－F，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1＝P(DE－F－＋DEF＋D－E－F)＝P(DE－F－)＋P(DEF)＋P(D－E－F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件DEF，且P(DEF)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(DEF)＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．[再练一题]3．(2016·邯郸高二检测)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．【解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P0＝(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(A∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．[构建·体系]1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是()A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件【解析】由已知，有P(A)＝1－28＝34，P(B)＝1－48＝12，P(AB)＝38，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.【答案】C2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34【解析】∵P(A)＝12，P(B)＝16，∴P(A)＝12，P(B)＝56.又A，B为相互独立事件，∴P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝12×56＝512.∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P(A－B－)＝1－512＝712.【答案】C3．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.2