2013中考数学第一轮复习讲义第11课 函数及其图象

第11课函数及其图象1．常量、变量：在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做______；可以取不同数值的量叫做________．2．函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是________，y是x的________．3．函数自变量取值范围：由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义．要点梳理常量变量自变量函数4．函数的图象和函数表示方法：(1)函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．(2)函数的表示法：①_______；②_______；③_______．要点梳理解析法列表法图象法助学微博紧抓两个变量函数中有两个变量，一个是自变量x，另一个是因变量y，这也说明了函数关系是某一过程中的两个变量之间的关系．在具体问题中，要结合实际意义确定变量．如：在路程问题中s＝vt，当速度v是定值时，s与t是变量；当时间t是定值时，s与v是变量．助学微博正确理解“唯一”函数概念中，“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应”这句话，说明了两个变量之间的对应关系，对于x在取值范围内每取一个值，都有且只有一个y值与之对应，否则y就不是x的函数．对于“唯一性”可从以下两方面理解：①从函数关系方面理解；②从图象方面理解．助学微博两种思想方法(2)数形结合思想数形结合，直观形象，为分析问题和解决问题创造了有利条件，如用函数图象解答相关问题是典型的数形结合思想的应用．(1)函数思想研究一个实际问题时，首先从问题中抽象出特定的函数关系，转化为“函数模型”，然后利用函数的性质得出结论，最后把结论应用到实际问题中去，从而得到实际问题的研究结果．基础自测1．(2012·聊城)函数y＝1x－2中自变量x的取值范围是()A．x＞2B．x＜2C．x≠2D．x≥2A解析根据题意得，x－2＞0，解得x＞2.基础自测2．(2012·益阳)在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是()B解析当水均匀加热时，吸热升温，当温度达到100℃时，水开始沸腾，此时温度又会保持不变．故选B.基础自测3．(2012·南昌十五校联考)如图，是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费()A．0.4元B．0.45元C．约0.47元D．0.5元A解析根据图象，复印超过100面的部分，每面收费(70－50)÷(150－100)＝20÷50＝0.4元．基础自测4．(2011·福州)下列函数的图象，经过原点的是()A．y＝5x2－3xB．y＝x2－1C．y＝2xD．y＝－3x＋7A解析当x＝0时，只有y＝5x2－3x＝5×02－3×0＝0，图象过原点(0，0)．基础自测5．(2012·武汉)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123.其中正确的是()A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③A解析甲的速度为：8÷2＝4米/秒；乙的速度为：500÷100＝5米/秒；则b＝5×100－4×(100＋2)＝92，5a－4×(a＋2)＝0，解得a＝8，c＝100＋92÷4＝123.故正确的有①②③.题型分类题型一确定自变量的取值范围【例1】函数y＝xx－1中，自变量x的取值范围是___________．x≥0且x≠1解析x中x作为被开方数，x≥0；xx－1中x－1作为分母，x－1≠0，∴x≥0且x≠1.探究提高代数式有意义的条件问题：(1)若解析式是整式，则自变量取全体实数；(2)若解析式是分式，则自变量取使分母不为0的全体实数；(3)若解析式是偶次根式，则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数；(4)若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数不等于0的全体实数；(5)若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围，然后再取其公共部分，此类问题要特别注意，只能就已知的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式．知能迁移1(2012·南通)函数y＝1x＋5中，自变量x的取值范围是________．x≠－5解析根据题意得x＋5≠0，解得x≠－5.题型分类题型一确定自变量的取值范围题型分类题型二由自变量取值，求函数值【例2】已知y＝－2x＋4，且－1≤x3，求函数值y的取值范围．解解法一：∵－1≤x3，∴2≥－2x－6，∴2＋4≥－2x＋4－6＋4，即6≥－2x＋4－2.∵y＝－2x＋4，∴6≥y－2，即－2y≤6.解法二：∵y＝－2x＋4，∴x＝4－y2.∵－1≤x3，∴－1≤4－y23，∴－2≤4－y6，∴－2－4≤－y6－4，－6≤－y2，∴－2y≤6.知能迁移2(2010·上海)已知函数f(x)＝1x2＋1，那么f(－1)＝________．探究提高结合不等式的性质，由自变量的取值范围，可确定函数的取值范围．12解析当x＝－1时，f(－1)＝1（－1）2＋1＝12.题型分类题型三确定实际背景下的函数关系式【例3】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x(m)，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数关系为______________．(不要求写自变量的取值范围)－12x2＋15x解析y＝AB·BC＝x·30－x2＝－12x2＋15x.探究提高本题利用了几何中的公式，用自变量表示因变量．知能迁移3(2012·上海)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示．(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；题型分类题型三确定实际背景下的函数关系式解设y关于x的解析式是y＝kx＋b，由题意得10k＋b＝10，50k＋b＝6，解得k＝－110，b＝11，∴y＝－110x＋11(10≤x≤50)．(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．(注：总成本＝每吨的成本×生产数量)解由题意得，xy＝280，x－110x＋11＝280，x2－110x＋2800＝0，解得x＝40或x＝70.∵x＝70不在定义域10≤x≤50范围内，舍去x＝70，∴该产品的生产数量是40吨．【例4】(2012·梅州)一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分．(1)求直线l的函数关系式；题型分类题型四观察图象，求解实际问题解设直线l的解析式是y＝kx＋b，由题意得k＋b＝54，3k＋b＝42，解得k＝－6，b＝60.∴y＝－6x＋60.(2)如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？解由题意得y＝－6x＋60≥10，解得x＝253，∴警车最远的距离可以到：60×253×12＝250千米．探究提高要学会阅读图象，正确理解图象中点的坐标的实际意义，由图象分析变量的变化趋势，从而确定实际情况．分析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解，进一步提高从图象中获取信息的能力，运用数形结合的思想观察图象求解．4．（2012•济南）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（）A．（2，0）B．（-1，1）C．（-2，1）D．（-1，-1）1．（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）知能迁移4在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；(2)求返程中y与x之间的函数表达式；(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．题型分类题型四观察图象，求解实际问题解(1)120÷2＝60；120÷(5－2.5)＝120÷2.5＝48.∵60≠48，∴往、返速度不相同．(2)设返程中y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.则120＝2.5k＋b，0＝5k＋b，解得k＝－48，b＝240，∴y＝－48x＋240(2.5≤x≤5)．(3)当x＝4时，y＝－48×4＋240＝48.答：这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离是48km.解(1)120÷2＝60；120÷(5－2.5)＝120÷2.5＝48.∵60≠48，∴往、返速度不相同．(2)设返程中y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.则120＝2.5k＋b，0＝5k＋b，解得k＝－48，b＝240，∴y＝－48x＋240(2.5≤x≤5)．(3)当x＝4时，y＝－48×4＋240＝48.答：这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离是48km.解(1)120÷2＝60；120÷(5－2.5)＝120÷2.5＝48.∵60≠48，∴往、返速度不相同．(2)设返程中y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.则120＝2.5k＋b，0＝5k＋b，解得k＝－48，b＝240，∴y＝－48x＋240(2.5≤x≤5)．(3)当x＝4时，y＝－48×4＋240＝48.答：这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离是48km.答题模版5.函数建模及函数应用题试题(2012·义乌)周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．审题视角(1)认真阅读题干内容，理清数量关系；(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的；(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．规范解答解：(1)小明骑车速度：100.5＝20(km/h)，在甲地游玩的时间是0.5(h)．(2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)．设直线BC解析式为y＝20x＋b1，把点B(1，10)代入，得b1＝－10，∴y＝20x－10.设直线DE解析式为y＝60x＋b2，把点D43，0代入，得b2＝－80，∴y＝60x－80，∴y＝20x－10，y＝60x－80，解得x＝1.75，y＝25，∴交点F(1.75，25)．答：小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上，此时离家25km.规范解答解：(1)小明骑车速度：100.5＝20(km/h)，在甲地游玩的时间是0.5(h)．(2)妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)．设直线BC解析式为y＝20x＋b1，把点B(1，10)代入，得b1＝－10，∴y＝20x－10.设直线DE解析式为y＝60x＋b2，把点D43，0代入，得b2＝－80，∴y＝60x－80