《信号分析与处理》备课教案(第六章)(1)

《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦144第六章：Z变换及其应用6.1.概述很久以前，人们就已经认识了Z变换方法的原理，其历史可以追溯至十八世纪。早在1730年，英国数学家棣美弗(DeMoivre1667～1754)将生成函数的概念应用于概率理论的研究，实质上这种生成函数的形式与Z变换相同。从十九世纪的拉普拉斯(P.S.Laplace)至二十世纪的沙尔(H.L.Seal)等人，在这方面继续作出贡献。然而，在这样一个较为局限的数学领域，Z变换的概念没能得到充分的应用与发展。20世纪六十年代，随着抽样数据控制系统和数字计算机的研究和发展，为Z变换的应用开辟了广阔的天地。从此，在离散信号与系统的理论研究之中，Z变换成为一种重要的数学工具。例如，在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种Z变换这一数学工具，把差分方程转换为简单的代数方程。当前，Z变换是在变换域里研究离散时间信号与系统的重要工具，其在离散时间信号与系统分析中的作用，和拉氏变换在连续时间信号与系统分析中的作用是相似的。《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦1456.2.Z变换一、Z变换的定义如果有一个离散时间序列)(nx，则定义：nnZnxZX)()(对)(nx的双边Z变换0)()(nnZnxZX对)(nx的单边Z变换注意：Z为复数今后，在不至于混淆的情况下，统称它们为对)(nx的Z变换。简记为，)]([)(nxZZX或)()(ZXnx可见：对序列)(nx的Z变换)(ZX，其实质上是以序列)(nx为加权系数的Z的幂级数之和。可见对于双边Z变换，变换表达式即包含有Z的正幂项，也包含有Z的负幂项；对于单边Z变换，只包含负幂项。显然，因果序列的双边Z变换与单边Z变换的结果是相同的。二、从拉氏变换引出Z变换若对一个因果连续信号)(tx进行均匀冲激抽样，可得到抽样信号(已离散化))(txs为0)()()()()(nTsnTtnTxttxtx《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦146式中，T为抽样周期。上式两边取单边拉氏变换可得：000)()()()]([)(dtenTtnTxdtetxtxLsXstnstss0000)()()()(nsnTnsnTnstenTxenTxdtnTtenTx取sTez和1T，即zsln，上式可化为)()()(0lnzXznxsXnnzs即，)()(lnzXsXzs)()(sXzXsez可见对于连续信号)(tx，其均匀采样信号)(txs的拉氏变换)(sX与对应的离散序列)(nTx的Z变换)(zX，通过zsln或sez可以相互进行转换。三、3个基本序列的Z变换1、单位样值信号)(n1)(n因为，1)0()()(0ZZnZXn2、单位阶跃序列)(nu1)(ZZnu《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦147因为321001)()(ZZZZZnuZXnnnn即这是一个等比级数，公比1Zq，当111ZZq时，ZZZZX111)(13、单边指数序列)(nuanaZZnuan)(因为，3322101)()(ZaZaaZZaZnuaZXnnnnnnaZZaZ111其中，aZaZ11四、Z变换的收敛域既然Z变换定义为一个无穷幂级数之和，显然只有当幂级数收敛才有意义，即要求0)()(nnnnZnxZnx时，)(nx的Z变换才存在。《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦148上式称为绝对收敛条件，它是序列)(nx的Z变换存在的充要条件。Z变换收敛域的定义：对于序列)(nx，使0)()()()(nnnnZnxZXZnxZX中级数收敛的所有Z值的集合，称为Z变换的收敛域。例如，对于两个不同的时间序列)0(0)0()(1nnanxn，)0()0(0)(2nannxn则有2210111)()(zaazzaznxzXnnnnn若aZaZ11，则aZZaZZX1111)(即收敛域为：aZ同理1122)()()(nnnnnnnnZaZaZnxZX这里，令mn，则原式][0001ZaZaZammmmmm《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦149]1[11]1[22100ZaZaZaZammmmmm当aZZa11时，该式ZaaZa111所以，原式aZZZaa1，（收敛域为aZ）可见，两个不同的时间序列由于其收敛域不同，但却对应着相同的Z变换，因此为了唯一确定的Z变换所对应的序列，不仅要给出序列的Z变换式，而且必须同时说明它的收敛域。下面着重介绍不同类型序列的收敛域问题1、有限长序列Z变换的收敛域21)()(nnnnZnxZX式中1n、2n均为整数，且21nnn①0,021nn此时)(ZX只包含有限个Z的负幂项，收敛域为0Z②0n,0n21此时)(ZX只包含有限个Z的正幂项，收敛域为|z|③0n,0n21此时)(ZX包含Z的正负幂项，收敛域为|z|02、右边序列Z变换的收敛域《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦1500n)(x)z(Xnzn收敛域为1||Rz（1R为正数）3、左边序列Z变换的收敛域1-n)(x)z(Xnzn收敛域为2||Rz（2R为正数）4、双边序列Z变换的收敛域双边序列可以看成是一个左边序列和一个右边序列之和，即：1-n0n-n)(x)(x)(x)z(Xnnnznznzn收敛域：若12RR，则为21||RzR若12RR，则收敛域不存在小结：序列的收敛域一般是下列的几种情况：①对于有限长序列，其Z变换收敛域一般遍布整个平面，仅去除0或∞个别点；②对于因果序列(右边序列)，其Z变换收敛域为某个圆外区域；③对反因果序列(左边序列)，其变换收敛域为某个圆内区域；《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦151④对于双边序列，其Z变换收敛域为环状区域。各种典型序列的Z变换收敛域如下图所示。例1、求}1,2),0(3,2,1{)(knx的Z变换解：)(nx的双边z变换为21221012-n232)2()1()0()1()2()(x)(zzzzzxzxzxzxzxznzXn收敛域为：||0z)(nx的单边z变换为《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦152212100n23)2()1()0()(x)(zzzxzxzxznzXn收敛域为：0||z例2、求因果序列(右边序列)000)()(nnanuanxnn的z变换，并画出收敛域.解：此即为前述的单边指数序列，其z变换为：azzzaznuazXnnnnnn00)()(收敛域为：||||az，如下图所示。例3、求反因果序列(左边序列)0nbnnubnxnn00)1()(的z变换，并画出收敛域。解：nnnnnnzbznubzX11)1()(（令mn）《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦153bzzzbzbzbzbzbmmmmmmmmm1111100001条件是：||||1||1bzzb，即收敛域为||||bz例4、求序列)1()()(nubnuanxnn的单边和双边Z变换,并确定和画出其收敛域（其中ba,b0,a0）。解：序列0nb0nanxnn)(为一个双边序列，其由一个因果/右边序列和一个反因果左边序列组成。对)(nx求单边Z变换，等于azazazaznubnuaznxZXnnnnnnnnn，其中000)]1()([)()(对)(nx求双边Z变换，等于《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦154bzzazzzbzaznubnuaznxZXnnnnnnnnnnnn10)]1()([)()(因为第一、第二项的收敛域分别为az和bz，又因为有ab，所以)(nx的收敛域为：bza。由于在实际的离散系统中所遇到的序列通常是因果性的，因此序列的单边Z变换一般更为重要，可以更多考虑。例5、求nnx)31()(的双边Z变换解：0n0n0n0nnxnnnnn)3()31()31()31()31()(参照例4有：《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦155zzzzzzzZX)31)(3(38331)(收敛域为：331z例6、求斜变序列)()(nunnx的Z变换解：00)()(nnnnnzznunZX因为，单位阶跃序列)(nu的Z变换为：)1(1110zzznn令y=z-1,代入上式有yynn110两边再对y求导，可得：201)1(1yynnn即，21011)1(1)(zznnn对此式两边同乘已z-1,可得：22110)1()1(zzzzznnn即，20)1()(zzznZXnn)1(z《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦156总结：常用序列的Z变换序列)(nxZ域表达式)(zX收敛域)(n1整个Z平面)(mnmz0z)(nu1zz1z)1(nu1zz1z)(nuanazzaz)1(nuanazzaz)(nnu2)1(zz1z6.3.逆Z变换由已知的)(zX及其收敛域，求对应的离散时间序列)(nx，称之为逆Z变换，标记为)]([)(1zXZnx《信号分析与处理》教案第六章：Z变换及其应用上海大学机自学院自动化系朱晓锦157求逆Z变换有三种求法：围线积分法(留数法)、部分分式法，以及幂级数展开法(长除法)。一、围线积分法(留数法)1、基本概念（1）孤立奇点如果函数)(zf在0z点不解析，但是在0z的某一个邻域00zz内处处解析，那么0z叫做)(zf的孤立奇点。因此，可以在邻域00zz内将)(zf展开成为罗伦级数：nnnnzzczf)()(0其中，Cnndzfjc10)()(21，),2,1,0(nC为在邻域00zz内绕0z的任何一条简单闭曲线。（2）极点和零点如果罗伦级数中只有有限多个0zz的负幂项，且mzz)(0为最高负幂，即)0,1()()(1)()()()(00101010mmmmcmzgzzzzcczzczzczf《信号分析与处理》教案第六