向量的数乘

2.2.3向量数乘运算及其几何意义问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究.abaabba+ba-b探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？aaOaaABC－a－a－aOMNPa＋a＋aOC=uuur（－a）＋（－a）＋（－a）OP=uuur思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？a＋a＋a记为3a，（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？2-aaOaaABC－a－a－aOMNP思考4：设a为非零向量，那么a和a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？232-a23a2-a思考5：一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时,λa与a方向相同；λ0时,λa与a方向相反；λ=0时,λa=0.思考6：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM12BDBC=uuuruuur3ADDM=-uuuruuuur探究二:向量的数乘运算性质思考1：你认为－2×（5a），2a＋2b，a可分别转化为什么运算？(32)+-2×(5a)=-10a；2a＋2b=2(a+b)；(3＋)a=3a＋a.22思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a＋b)分别等于什么？λ(μa)=(λμ)a；(λ＋μ)a=λa＋μa；λ(a＋b)=λa＋λb.思考3：对于向量a（a≠0）和b，若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b的方向有什么关系？思考4：若向量a（a≠0）与b共线，则一定存在实数λ，使b=λa成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.若a＝0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？ABBCl=uuuruuur思考7：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？OPuuurOAuuurOBuuurABPOABBCABCl=?uuuruuur、、共线1()2OPOAOB=+uuuruuuruuur思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？λ(xa±yb）=λxa±λyb.理论迁移例1计算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.2b3babO例2如图，已知任意两个非零向量a，b，试作=a＋b，=a＋2b，=a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？OAOBOCabABC2ACABABC=?uuuruuur、、共线例3如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，试用a,b表示向量、、、ABuuurADuuurMAuuurMBuuurMCuuurMDuuurMABDCab小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：P90练习：3，4，5，6.