向量组的秩-例题选讲

1单个向量组成的向量组:(1)若=0,则线性相关;(2)若0,则线性无关.两个向量组成的向量组,:(1)若对应分量成比例,则线性相关;(2)若对应分量不成比例,则线性无关.复习线性相关性的判定理论2设有n维向量组成的向量组:1,2,…,m(1)包含0向量线性相关.(2)包含成比例的向量线性相关.(3)线性相关存在一个向量可由其余的向量线性表示.(4)线性无关任何向量都不能由其余的向量线性表示.(m2)增加(减少)个数不改变相(无)关性.(5)(6)增加(减少)维数不改变无(相)关性.3(7)向量组1,2,…,m线性相关性x11+x22+…+xmm=0有非零解齐次线性方程组AX=0有非零解其中A=(12…m),X=(x1,x2,…,xm)T(8)设有n个n维向量1,2,…,n:1,2,…,n线性相关|12…n|=0;1,2,…,n线性无关|12…n|0.(9)Rn中n+1个向量一定线性相关.(10)矩阵判别法.44.3向量组的秩1.极大线性无关组与秩;2.向量组的等价;3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.本节主要内容54.3.1向量组的极大无关组与秩定义1设S是n维向量构成的向量组,在S中选取r个向量,如果满足r,,,21,,,r12(1)线性无关,,,,12r(2)任取S,总有线性相关.r,,,21则称向量组为向量组S的一个极大线性无关组(简称极大无关组).数r称为该向量组的秩,记为r(1,2,…,s)=r或秩(1,2,…,s)=r6设有向量组1=(1,1,1)T,2=(2,1,0)T,3=(3,2,1)T,求向量组的秩和极大无关组.因1,2线性无关,且例1所以1,2为极大无关组,可知1,3和2,3也都是极大无关组.故秩(1,2,3)=2.3=1+2解7定理4.2设n维向量1,2,…,m线性无关,而1,2,…,m,线性相关,则可由1,2,…,m线性表示,且表法唯一.证由1,2,…,m,线性相关存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得11220mmkkkl下面证明只有l0,反证法.线性表示唯一性定理8如果l=0,则有k1,k2,…,km不全为零,使于是1,2,…,m线性相关,与已知矛盾.从而l0.故有11220mmkkk1212mmkkklll即可由1,2,…,m线性表示.下面来证明表示的唯一性.9假若有两种表示法,设1122mmkkk1122mmlll两式相减,得()()()1112220mmmklklkl由1,2,…,m线性无关,得(1,2,,)iiklim可由1,2,…,m唯一线性表示.故10设有两个n维向量组若(I)中每个向量都可由(II)线性表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示.若向量组(I)和(II)可以互相线性表示,则称向量组(I)与(II)等价.定义24.3.2向量组的等价等价的性质自反性、对称性、传递性,,,;12(I)r,,,12(II)s12()s11121212221212()ssrrrrskkkkkkkkkn维向量组;,,,(I)21r.,,,(II)21srrssssrrrrkkkkkkkkk22112222112212211111(,,,;,,,)1212ijkirjs存在数,使得即定义存在r×s矩阵K,使得Bn×s=An×rrsK向量组(II)可由向量组(I)线性表示12极大无关组与原向量组的关系?极大无关组之间的关系?这都要用到两个向量组之间的关系.向量组极大无关组的几个问题:向量组与它的极大无关组等价.证,,,,,,rrm121设(I),,,r12极大无关组.不妨设(II)性质1的秩为r,是(I)的一个131101000rrmii即(II)可由(I)线性表示.i(i=1,2,…,r)(II),由(1)由定义1知,1,2,,m中任意r+1个(2)故(I)与(II)等价.j(I)向量都线性相关.如果j=1,…,r,j显然可由1,2,,r线性表示;如果j=r+1,…,m,向量组1,2,,r,j一定线性相关,所以j(j=r+1,…,m)可以由1,2,,r线性表示(I)可由(II)线性表示.14证设(I),(II)是向量组S的两个极大无关组,由性质1知,(I)与S等价,(II)与S等价,由传递性(I)与(II)等价.向量组的任意两个极大无关组等价.性质2设有n维向量组:12,,,;(I)r12,,,(II)s若(I)线性无关,且(I)可由(II)线性表示,则r≤s.定理4.315证1212(,,,)(,,,)rs因为向量组(I)可由(II)线性表示,故有111212112211rrssrsrskkkkkk线性无关,由矩阵判别法知故rs.,,,12r111212122212rrsssrkkkkkkkkk12(,,,)rr()rBK()rKsr(I)(II)16推论2若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II)等价,则r=s.向量组的两个极大无关组所含向量个数相等推论3若(I)可由(II)线性表示,则秩(I)≤秩(II).如果向量组(I)可由(II)线性表示,且rs,则(I)线性相关.等价的无关向量组必然等秩推论117证设r(I)=r,r(II)=s,(I´),(II´)分别是(I),(II)的极大无关组,显然(I´),(II´)含向量的个数分别是r与s.因为(I´)可由(I)线性表示,(I)可由(II)线性表示,而(II)可由(II´)线性表示,所以(I´)可由(II´)线性表示.由定理4.3有rs.等价的向量组等秩18设112223331,,.若向量组1,2,3线性无关,证明向量组1,2,3也线性无关.证1由已知可以解得用1,2,3来表示1,2,3的表达式:11231()221231(),231231()2故两向量组等价,等秩,r(123)=3r(123)=31,2,3线性无关.例219证2123123101())110011=(101110200111231231101)()110011(故两向量组等价,等秩,123123)()3.rr(则1,2,3线性无关.204.3.3向量组的秩与矩阵的秩的关系定理4.4m,,,21r(An×m)=A的列向量组的秩.分析记r(A)=r,往证的秩为r,即m,,,21只要证的极大无关组含r个向量.m,,,21证r(A)=rA存在r阶子式Dr≠012,,,,riii记Dr对应的r列为是r维线性无关向量的接长,仍线性无关.riiij,,,,21是线性相关的,,jA下证21②j不在i1,i2,…,ir中,①j在i1,i2,…,ir中;线性相关.riiij,,,,21r+1列对应的子矩阵记为A1,r(A1)≤r(A)=r＜r+1而因为riiij,,,,21线性相关,所以12,,,riii是一个极大无关组.故12(,,,)()mrrrAr(A)=A的行秩=A的列秩由,又有A的行秩.()()TrArA()rA22设AB=0.若A的列向量组线性无关,则B=0.若B的行向量组线性无关,则A=0.若B0,则A的列向量组线性相关.若A0,则B的行向量组线性相关.分析设B=(B1,B2,…,Bm),AB=0ABi=0.A的列向量组线性无关AX=0只有零解Bi=0,i=1,…,mB=0.其余情况可以类似得到.例323将),,,(21m),,,(21mA==B行①秩等;②极大无关组的位置对应相同;③表示系数对应相同当时,1mijjjjik1mijjjjikn维列向量组S:12,,,m则向量组与12,,,m12,,,m初等变换法极大无关组和秩的求法行初等变换不改变A的秩,不改变列向量组之间的线性关系.24求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩,并把其余列向量用所求出的极大无关组线性表示.1234121014141302A解通过初等行变换把A化为行最简形121012101414022413020112A例42512101210022401120112000012342r为一个极大无关组32142132412,103410340112011200000000B26设有向量组11010=，=211003=21104=0011，，求向量组的(1)秩;(2)极大无关组;(3)表示系数.解法1设1120011010110001),,,(4321A==432,,是该向量组的一个极大无关组.110011001D==1≠0由而|A|=0知秩=3,例527解法2设),,,(4321A=1120011010110001=1120011000010000行A1010011000010000行),,,(4321=B=421,,(2)是该向量组的一个极大无关组,431,,432,,(和也是).31240(3)(1)秩=3;),,,(432128总结:向量组的有关结论一、理解A=BC二、S的极大无关组(1)定义(2)S,则可被极大无关组线表,且表法唯一(3)S与极大无关组;极大无关组～极大无关组(4)S的各极大无关组含向量个数相等--秩三、重要结论Th4.2Th4.3组(I)可被(II)线表示(I)无关r≤s组(I)与(II)等价(I),(II)无关r=s推2推3组(I)可被(II)线表秩(I)≤秩(II)组(I)与(II)等价秩(I)=秩(II)四、秩、极大无关组、表示系数的求法Th4.429例题选讲30判断下列命题是否正确？(1)若向量组线性相关,则其中每一向量都是其余向量的线性组合.解不正确.如e1,e2,2e2线性相关,e1不能用e2,2e2线性表示.(ei是第i个单位向量)(2)若一个向量组线性无关,则其中每一向量都不是其余向量的线性组合.解正确.用反证法:若存在一向量是其余向量的线性组合,则线性相关.例131(3)若1,2线性相关,1,2线性相关,则1+1,2+2也线性相关.解不正确.如(1,0),(2,0)线性相关,(0,1),(0,3)线性相关,但(1,1),(2,3)线性无关;(4)若1,2,3线性相关,则1+2,2+3,3+1也线性相关.解正确.不妨设1可由2,3线性表示,则1+2,2+3,3+1可由2,3线性表示.32(5)1,2,…,m线性无关1,2,…,m中任何两个都线性无关.,,123101011,312,,123所以线性相关.中任何两个都线性无关,但反例解不正确.只是必要条件,非