直线与椭圆的位置关系(一)

1.（2010全国卷I理科16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2BFFD，则C的离心率为.33BDFxyO(,)2(,)cbxcy2BFFD3,.22bxcy22223()()221,bcab2231,.33cea45[2,1)23.设F1，F2分别是椭圆2214xy的左右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPF的最大值和最小值．解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.解:易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则12PFPF＝(－3－x,－y)·(3－x,－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为2,2x，故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值－2；当x=2，即点P为椭圆长轴端点时,12PFPF有最大值1.12,PFPF122(1)tan.2PFFSb△xF1F2oyPA2B2B1A112max().PFFSbc△设P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=θ,则222210yxabab几个重要结论：(2)当P为短轴端点时，(3)当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大.(4)椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远.≤|≤|.acPFacxF1F2oyPA2B2B1A1(6)焦半径公式00(,)xy10|PFaex|20|PFaex|几个重要结论：(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短.22||bCDaCD点与椭圆的位置关系点00(,)Pxy与椭圆22221(0)xyabab的位置关系点P在椭圆上22221xyab；点P在椭圆内部22221xyab点P在椭圆外部22221xyab相离相切相交方程组无解方程组有一组解方程组有两组解1.交点问题设椭圆的方程为：直线的方程为：如何求椭圆与直线的交点呢？22221xyabykxb22221xyabykxb联立椭圆与直线的方程得：0=00直线与椭圆的位置关系2.弦长问题若直线与椭圆的交点为则|AB|叫做弦长。:lykxm22221(0)xyabab1122(,),(,)AxyBxy弦长公式：22121222212122121222||()()||1()1||11||1()1||ABxxyyABkxxkxxAByyyykk练：直线1ykxa与椭圆22142xy总有公共点，则实数a的取值范围是().A2,2.B1,1.C2,2.D,22,221142a≤22a≤CxF1F2oy(,1)Ma例1已知椭圆.4422yxO为坐标原点（1）已知直线.:mxyl当m为何值时，直线与椭圆有公共点；（2）若直线mxyl:被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程；（3）已知椭圆,4422yx在椭圆上求一点,P使P到04:yxl的距离最小，并求最小值；（4）求过点21,1P作直线l交于椭圆于BA,两点，若点P为中点，求直线l的方程.（5）求过点2,1P作直线l交于椭圆于BA,两点，若点P为中点，求点P的轨迹方程.（6）求过点2,0P作直线l交于椭圆于BA,两点，求AOB面积的最大值.（7）试确定m的取值范围,使得椭圆4422yx上有不同两点BA,关于直线mxy4对称.【2007年.浙江卷.理20】直线ykxb与椭圆2214xy交于BA,两点，记ABC的面积为.S（Ⅰ）求在0k，01b的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当||2,1ABS时，求直线AB的方程.【2015高考浙江，理19】已知椭圆2212xy上两个不同的点A，B关于直线12ymx对称．.1求实数m的取值范围；.2求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考题欣赏解法2（换元法）：令214kt，则14t，214kt2S22333313399393()24216162162ttttttt，当且仅当916tt，即34t时取到最大值，此时212k，232b，代入①式检验，0.所以AOB的面积的最大值为1.求目标函数最值代入①得22214()401kk恒成立，kR.设O到AB的距离为d，则2||1bdk，21||||21bSABdk,则2221bSk22213()4(1)kk，解法一：解法3：由2214ykxbxy得22212104kxkbxb，2241kb，……①211||1||ABkxx2222411214kbkk.……②所以211k22241122kbk，21||||21bSABdk22241122bkbk22222222241(41)11414bkbbkbkk，当且仅当2241bkb时，即212k，232b时AOB的面积的最大值为1.224.(2015)121,.2().()().xyABymxImIIAOBO年浙江已知椭圆上两个不同的关于直线对称求实数的取值范围求面积的最大值为坐标原点MyxBOA2•1OMABkke2OMmk11(,)2Mm122ymxmyx由211:124Mm由在椭圆内得到223m6633mm或1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于BA,两点，)1,3(aOBOA与共线。（Ⅰ）求椭圆的离心率；36e（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值。▲中点弦——情有独钟的e²-12.【2015高考新课标2，理20】已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．2222103023A1B.2C.(2013D20)yxCababFkkCABAFFBk　已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点,若，则．国卷Ⅱ．全112212()()33.AxyBxyAFFByy设，,解，.，:3232eatct，故设，，222440.xyt　　①3ABxmytx又直线的方程为，代入①消去bt则.B考题欣赏2222103023A1B.2C.(2013D20)yxCababFkkCABAFFBk　已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于、两点,若，则．国卷Ⅱ．全222(4)230mymtyt得.21212222344mttyyyymm，.222222232344mttyymm，，212.2mk解得，从而B考题欣赏再回首，椭圆的“三条弦”★焦点弦★中心弦：★中点弦情有独钟的e²-1点差法，韦达法